Как в одну формулу найти минимальное расстояние от точки C(x0, y0, z0) до поверхности функции z = f(x, y).

Кстати, Минимальное расстояние от точки до поверхности функции., решение этой подзадачки - ключ к усовершенствованию метода наименьших квадратов.

Вот пожалуйста. Люди ведь просили задачи, имеющие практическую ценность.

Не знаю как в одну и возможно ли это вообще
1. Находим нормали к поверхности, проходящие через эту точку
2. Находим пересечения этих нормалей с поверхностью
3. для всех находим расстояния
4. выбираем минимум

Вариант два:
1. находим производную формулы расстояния
2. приравниваем ее к нулю и находим экстремальные точки
3. для всех них находим минимум

Это просто - расстояние от точки до плоскости

(3) Вот было-бы неплохо вывести чтоб в одну. А вот ещё ведь проблема: экстремумов у функции расстояния между точкой C и поверхностью z = f(x, y) (обозначим её S(x, y)) может быть и несколько.

(5) да это проблема, а что делать?

мысли вслух - если бы была простая формула, то это бы была бы скорее всего непрерывно дифференцируемой функцией, однако расстояние таким свойством не обладает

(6) если поверхность непрерывна-дифф, то расстояние от точки до точек поверхности такая же ф-ция

(7) нет конечно
рассмотрим поверхность - сферу
пусть точка движется по диаметру, тогда в центре сферы функция расстояния не дифференцируема

(8) это почему это?

(8) растояние от центра до точки на сфере есть const, самая дифф ф-ция

(9) потому
(10) нда.. тяжелый случай

(11) ты действительно веришь, что когда производная равна нулю, - функция недифференцируема?

(12) дело не в этом
спустимся с небес на плоскость
нарисуем на плоскости окружность, для каждой точки (x,y) плоскости поставим в соответствие z=d(x,y) - расстояние до окружности от точки

z=d(x,y) - есть поверхность, а для точек внутри окружности это конус
в центре окружности - острие, там функция не дифференцируема

(13) да ты прав, я не прав
неподумал

(6) Жалко (((. А ведь на МНК столько всего базируется и из эконометрики и из статистики и прочее... Только представьте, что всё это будет работать точнее.

(3) находим нормаль к конусу ;)
давай лучше твои задачки )

(0) Задача на условный экстремум:
D(x,y,z) = (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2 -> MIN
z=f(x,y).
Если речь, как числить, то тут много чего есть.
(15) А что Вы хотите в МНК улучшить? И так это СЛУ с симметричной матрицей.
Если Вас завораживает "формула", то решение СЛУ выписывается через детерминаты - это и можно считать формулой (только считать по ней нельзя).

(17) Чтобы понять что я хочу улучшить Вам нужно увидеть графики, где мы сравним как это есть и как я хочу чтобы это СТАЛО. Приближение точней будет.

Пришлите, если это возможно. Мыло в профиле.

(13) ты вывернул задачу: нет от каждой точки плоскости до окружности, а от конкретной точки плоскости до всех точек окружности

(19) Как только нарисую - пришлю.

(20) ведь нам нужно найти расстояние от конкретной точки плоскости до окружности

(22) нужно, но если точку менять, то получится функция - аргументом ее будет точка, а результатом число - расстояние
дальше проводится анализ этой функции

(23) зачем менять точку?

(24) еще раз с самого начала
пусть у нас есть формула расстояния, тогда я предположил, что это функционал от функции поверхности f(x, y) и самой точки (x0, y0)
я также предположил, что если f(x, y) фиксирована, то относительно (x0, y0) эта функция должна быть дифференцируемой

(25) да я понял что мы про разные вещи говорим. Просто твой функционал не нужен в данной задаче

(26) так я не о задаче, а о попытке эмпирически доказать, что такой формулы не может быть

На самом деле, задача на поиск расстояния от точки до поверхности сродни задачи на поиск экстремума функционала.
То есть мы вычисляем расстояние от нашей точки до любой точки поверхности и далее производим поиск минимума у получившегося выражения.

+ Никто не обещает даже, что поверхность непрерывная (хотя, само слово "поверхность" как бы об этом говорит) - можно рассмотреть даже просто множество точек (и если оно конечно, то решить перебором).