Вот такое исследование. Пусть длины сторон треугольника заданы целыми числами.
Может ли длина какой-то из высот треугольника равняться длине основания, на которое она опущена?

целость чисел важна?

(1) очень

ДА

тогда уж рациональность

+(2) хотя достаточно рациональности конечно ))

(3) пример есть?

Прямоугольный треугольник не рассмитриваем? 3,4,5

(7) рассматриваем, но он не подходит

(8) Сорри, ступил

(6) могу нарисовать

Равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5, 8. Высота треугольника - 3.

Равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5, 6. Высота треугольника - 4.

(11) а четвёртая сторона сколько? три?

(12) Не читатель , а писатель:

"Может ли длина какой-то из высот треугольника равняться длине основания"

(11)(12)Извиняюсь, неправильно понял условие.

x=sqrt(5)y

Врядли у этого уравнения есть целочисленные решения )

(0) неа см (16)

(16) это условие для равнобедренного
остальные в нем не рассмотрены

Ага. Дальше надо спрашивать на Мисте или у Гугла )

Ибо самому лень

блин... как лень пример строить...

через пифагоровы тройки

Сдается мне, что нет, не может

спасибо, что миста поднялась, а я подниму свою тему

нет, в (16) ответ.
sqrt(5) = 2,2360679774997896964091736687313 (это из калькулятора)

(25) это частный случай только

(25) Можно не писать что из калькулятора. Общеизвестно что корень из целого числа, это либо целое, либо иррациональное. Но никогда не рациональная дробь. Так что т.к. корень из 5 не целый, значит он уже точно не рациональный.
Но дело в том, что в 16 был равнобедренный, а не любой

H = 2*S/a (H=a) (высота любого треугольника).
a^2 = 2*S
a = sqrt(S) * sqrt(2) (при условии, что корень из S в принципе извлекаем)...
Ответ (0): не может.

(28)
И чё?

(28) нарисуй на клетчатой бумаге полоску две клеточки. из ее середины нарисуй перпендикулярную, тоже две клеточки - это высота. соедини концы отрезков.
треугольник видишь? а ты доказал, что его нет.

(30) не забывай стороны тоже целочисленные

начал рассматривать частный случай задачи, когда прилежащий к основанию угол стремится к 180, тогда две остальные стороны будут много больше основания.
написал несложный алгоритм подбора и запустил.
пока алгоритм работал, почитал, что пишут в интернетах - нашел доказательство отсутствия сабжа, но для меня выкладки были ленивыми и сложными) остановил работу алгоритма

(31) этот факт не использован в доказательстве (28)