Можно ли на евклидовой плоскости отметить 4 точки так, что все попарные расстояния между ними были положительными целыми числами? а если добавить условие нечетности расстояний?

Можно. Для начала - треугольник со сторонами 3 и 4. Длина гипотенузы будет равна 5. Дорисовываем четвёртую точку - вуаля!

ЗЫ: Что такое - нечётность расстояний?

а что такое отрицательное расстояние?

(1) выражается нечетным числом
(2) не знаю

(3) В моём случае - нет, поскольку все остальные длины будут произведениями минимальных (3, 4 и 5 соответственно) на какое-либо число, и в результате расстояния будут как чётными, так и нет. Но это - только В МОЁМ случае, я имею ввиду прямоугольник с рёбрами длиной 3 и 4.

(4) в твоем все понятно, даже в произвольном прямоугольном, а не только твоем

(5) Вот надо посмотреть, могут ли быть ещё варианты размещения точек, и какие.

задача сводится к нахождению пифагоровых чисел

(7) с чего это вдруг?

6,8,10 - все четные

(9) к чему это?

(0) А ты там, случаем, не карты ли по полигонам раскраивать решил?

4 вершины прямоугольника, все расстояния целые. Ну это подмножество решений как минимум

(11) зачем?

(9) Речь шла о НЕЧЁТНОСТИ.

в пифагоровых тройках не могут

(15) это я в курсе, как и написал в (5)

(12) диагональные расстояния тоже целые?

(0) Можно. На прямой, через единицу

Итак решаем именно вторую часть задачи:

Можно ли на евклидовой плоскости отметить 4 точки так, что все попарные расстояния между ними были целыми нечетными числами?

(18) Красава!

(19) А вот это, нельзя. Т.к. любая пара даст четное расстояние.

(21) Упс... не однозначно.

(21) чего?

Сделаем утверждение:
1. Если построение возможно, то построение возможно и при одной из точек (0,0)


В таком случае можем принять одну из точек за Т1(0,0). Пусть координаты второй точки Т2 (Х2,У2) и третьей Т3(Х3,У3).
Тогда квадрат длины отрезка (Т1,Т2) = Х2*Х2+У2*У2 - нечетное целое. Значит либо Х2 либо У2 - четное (тк иначе бы сумма квадратов была бы четной). Аналогично находим что либо Х3 либо У3 четное.
Запишем квадрат длины отрезка (Т2,Т3) = (Х2-Х3)*(Х2-Х3)+ (У2-У3)*(У2-У3) - нечетное целое. Теперь разберем все варианты:
1. Х2 - чет, У2 - нечет, Х3- чет,У2-нечет. Получаем что четное*четное+четное*четное = нечетное. не бывает.
2. х2 чет, у2 нечет, х3 нечет У2 - чет. Получаем нечет*нечет+нечет*нечет = нечет. не бывает.
3. аналогично.
4. аналогично.

Вывод - не бывает.

(24) ты только что доказал, что не существует равностороннего треугольника с длиной стороны 1.
Причина: неверное предположение, что либо Х2 либо У2 - четное На самом деле они вообще могут быть нецелыми

(25) Кхм.. логично.

А есть решение не полным перебором если?

(27) есть, а интересно как полным перебором?

(29) Шесть нечетных длин отрезков задаешь, и смотришь, какой получился седьмой. Если нечетный, значит решение найдено. Четный или дробный - следующая комбинация

Вот ведь людям заняться нечем. Недавно видать закончили, фантомные боли... преследуют.

(24) неверно предположение, что концы треугольника должны лежать в целых точках

можно на обной прямой разместить через 1 еденицу измерения расстояния будут
1,2,3,4

(32) Ну да... и между первой и третьей сумма сколько?

AB = 91
BC = 255
CA = 273
BD = 293
AD = 285
CD = 83
проверяй)

(34) не прокатило ))

(35) так и знал
есть более точные варианты ))
Как проверял, есть какие-то формулы, или только построение и вычисление координат?

Невозможно, если в формулах не напутал нигде
долго крутить квадрат расстояний и факт что разница квадратов 2х нечетных чисел делится на 4

(37) а ты точно не целочисленные координаты рассматривал?
у меня формулы дикие получаются, с корнями и 5-ю переменными, привести их разнице квадратов точно не получится.
Возможно я не с той стороны захожу

с начальными D(0,0),A(a,0),B(b1,b2),C(c1,c2):
- все первые координаты рациональны
(СD^2-СA^2=aa-2*c1a=N1, отсюда рациональна с1, аналогично b1)
- b2-c2 рациональна

5 переменных но уже 3 из них приводимы к целочисленным

Я брал 5 длин и находил по ним шестую. Первые 2 точки задавал также как у тебя. С тем что все x-координаты рациональны соглашусь. А вот в b2 и c2 у меня корни.
Откуда вывод
"b2-c2 рациональна"?

(41) к (39)

Введем координаты так, что A(0,0) B(a,0) C(x,y) D(z,t)

Для вещественных p,q и целого положительного n введем обозначение p~q(mod n) того, что разность (p-q) целая и делится на n.

Заметим тот факт, что квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8. Или в обозначениях r~1(mod 2) => r^2 ~ 1(mod 8). Тогда:
1. x^2+y^2 ~ 1(mod 8)
2. (a-x)^2+y^2 ~ 1(mod 8)
3. z^2+t^2 ~ 1(mod 8)
4. (a-z)^2+t^2 ~ 1(mod 8)
5. (x-z)^2+(y-t)^2 ~ 1(mod 8)
Из 1 и 2 отношения получаем: a^2 ~ 2*x*a (mod 8). Поэтому х - рациональное, его знаменатель является делителем 2*a и сам делится на 2.
Аналогично из 3 и 4 отношения это верно и для z.
Умножим все координаты всех точек на нечетное a. Все расстояния умножатся также на a, то есть если предположение верно для начальной конструкции, то оно верно и для промасштабированной. Переобозначим все новые координаты теми же буквами.
Теперь мы можем утверждать, что x и z - рациональные числа со знаменателем 2. Вернемся к  a^2 ~ (2*x)*a (mod 8), так как a - нечетное, то верно: a ~ (2*x) (mod 8), что эквивалентно a=2*x+8*n, где n - целое. Разделим на 2:
a/2=x+4*n => x ~ a/2 (mod 4)
x ~ a/2 (mod 4) => x^2 ~ a^2/4 (mod 4) => y^2 ~ 1 - a^2/4 (mod 4)
аналогично верно: z ~ a/2 (mod 4),  z^2 ~ a^2/4 (mod 4), t^2 ~ 1 - a^2/4 (mod 4)
Вместе: x-z ~ 0 (mod 4)  => (x-z)^2 ~ 0 (mod 8) и подставляем в отношение №5:
(x-z)^2+(y-t)^2 (mod 8) => (y-t)^2 ~ 1(mod 8) => (y-t)^2 ~ 1(mod 4)
Рассмотрим (y+t)^2 = 2*y^2+2*t^2- (y-t)^2 ~ 2 - a^2/2 +  2 - a^2/2 - 1 (mod 4)
2 - a^2/2 +  2 - a^2/2 - 1 = 3-a^2 ~ 2 (mod 4), коротко: (y+t)^2 ~ 2 (mod 4)
Перемножим  (y-t)^2 ~ 1(mod 4) и  (y+t)^2 ~ 2(mod 4), получим:
(y^2-t^2)^2 ~ 2(mod 4), но y^2 ~ t^2 (mod 4), то есть (y^2-t^2)^2 ~ 0 (mod 4) - противоречие

да, примерно... реально вычислений достаточно много

В https://ru.wikipedia.org/wiki/Четырёхугольник есть формула "Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением", если взять его по модулю 4 для нечетных чисел получим слева 2, а справа 0

(45) ага, кто бы про нее еще знал))

(46) Я ее больше нигде не нашел, причем порядок (выбор a,b,c,d,e,f) в ней влияет на результат. А как правильно обозначить не указано ))

(47) исходя из симметрии достаточно чтобы пары (a,c), (b,d) и (e,f) не имели общих вершин, то есть либо были противоположными сторонами, либо диагоналями