Решить в натуральных (в школе это целые положительные) числах систему 2-х уравнений:

a^3+b = c*(a^2+b^2)
a+b^3 = d*(a^2+b^2)

Задача предлагалась на ЕГЭ-2012

1. раскрыть скобки и свести все к 2 переменным.

a=1
b=1
c=1
d=1
или 0 =))))

(2) в таком случае требуется показать, что нет других решений

(1) покажи как (мастер-класс)

Мб тут что-то недоговорено и d,c - константы?..

(5) нет, переменные

(0) 2 уравнения - 4 переменные. Интересно, а решений сколько?

(0)Предполагаю, что задача на анализ функции.
Ищем возможные множества значений всех переменных.
Далее из ограничений наверняка можно найти решение.

(0) надо знать тему "делимость".  решение 1,1,1,1 есть . а потом доказать что других нет

(7) важное условие, что решения целочисленные
(9) в точку

У нас теория чисел только в универе была... Это для школьников что-то черезмерное.

(11) А каково школоте?

(12) Ничего. Это поди усиленной сложности задачки.
Помню у нас один после школы пошел в Новосибирский государственный университет поступать. Так блин, там на вступительных были задачки которые в конце первого курса разбирали в техническом вузе.

чо, вольфрам еще никто не напряг?

и кто говорил что егэ это отстой?

(0)>натуральных (в школе это целые положительные)

это везде целые строго положительные числа, извращенцев причисляющих к натуральным ноль не учитываем

(15) ЕГЭ - это жопа.
Попробуйте решить пробные из Яндекс.ЕГЭ, глаза на лоб лезут.

p.s. Физика и то легче.

(17)
Так правильно.
Задания должны быть такими, чтоб можно было дифферинциировать учащихся на всех уровнях знаний.
А не так, чтоб зубрила-отличник набирал столько же балов, как и талантливый математик

(0) а с задачкой ты точно не напутал?

(17) и чего там сложного? на кауказе все решают

(20) что есть кауказ?

Разве делимость?
Сходу a>=c, b>=d

c+d>=a+b
Откуда а=b=c=d

Раскрываем скобки в первом уравнении
(a-c)*a^2=в*(c-1)
Правая часть всегда >=o
a^2 всегда >0
Значит a>=с
Аналогично b>=d
(23) пока ге понимаю с чего я взял

(24)Итак, у нас есть
a>=с, b>=d  
Сложим исходные уравнения и получим:
a^3 + b^3 + a + b = (c + d)(a^2 + b^2)
(a + b)(a^2 - ab + b^2 + 1) = (c + d)(a^2 + b^2)
Отсюда, поскольку a>=с, b>=d, следует, что
(a + b)(a^2 - ab + b^2 + 1) >= (a + b)(a^2 + b^2)
a^2 - ab + b^2 + 1 >= a^2 + b^2
- ab + 1 >= 0
1 >= ab
Поскольку a и b - натуральные числа, то
a <= 1  и b <= 1
Получаем 4 решения:
a = b = c = d = 1
a = b = c = d = 0
a = 1, b = 0, c = 1, d = 1
a = 0, b = 1, c = 1, d = 1

(25)+ Посмотрел повнимательнее, увидел ошибку

>Сходу a>=c, b>=d

неплохо-бы обосновать

Как у нас говорил преподаватель по матану - "Ну это же очевидно!!!" а потом писал доказательство на 3 листах...

a^3+b = c*(a^2+b^2), раскроем
a^3+b = c*a^2+c*b^2
Очевидно, что b^2 >= b значит
a^3 >= c*a^2 сократим, отсюда
a >=c
;
b>=d по аналогии

(27) обоснование в (24)

(0) а не в школе "натуральные" какой то другой состав?

(28) матан фигня, алгебраисты любят страниц на дофигища писать и это считатеся ниочём...

(30) хм, действительно....

Другое решение (надеюсь, что правильное)
Покажем, что у a и b взаимно просты, то есть у них нет общих делителей, кроме 1. Допустим противное. Тогда a и b делятся на некоторое простое число p. Поскольку правая часть a^3+b = c*(a^2+b^2) в этом случае делится на p^2 и a^3 делится на p^3, то b делится на p^2. Из второго уравнения аналогично получим, что a тоже делится на p^2. Опять рассмотрим a^3+b = c*(a^2+b^2) и увидим, что a и b делятся уже на p^4. Этот процесс можно продолжать до бесконечности то есть в этом случае a и b делятся на любую степень числа p. Противоречие.
Допустим, что a > b > 0. Тогда a^3+b делится на a^2+b^2. Следовательно, a(a^2+b^2) - (a^3+b) - = b(ab - 1) делится на a^2+b^2. Поскольку a  и b взаимно просты, то  b и a^2+b^2 тоже взаимно просты. Следовательно, (ab - 1) делится на a^2+b^2. Следовательно
(ab - 1) >= a^2+b^2 >= 2ab
-1 >= ab
Противоречие.
Поэтому либо a=b=1 либо a=1, b=0  либо a=0, b=1.
Получаем решения:
a=b=0, с и d - любые
a=b=c=d=1
a=1, b=0, c=1, d=1
a=0, b=1, c=1, d=1

Всё-же а поросёнок нам мозг не пудрит? Псомотрел несколько вариантов заданий С5, С6 - уровень районных или максимум городских олимпиад, не более. А тут всё-же посложнее.

(35) или я немного математику подзабыл...

(31) в международной практике принято писать "целые положительные", потому что понятие "натуральное число" в целом мире имеет разные понятия

(37) так ты не с международной-ли олимпиады задачку припёр?

(38) нет

(39) С5? С6?

(40) что-то типа того

(34) зачет

(34) Глупость написал.

Уравнение явно симметричное.
после того как отнимаем 1-е от 2-ого. получаем

(a-b)(a^2+ab+b^2 -1) = (a^2 + b^2)(c-d)

очевидно решение a=b && c=d при которых 0=0, из этого выходит частный случай a=b=c=d=1 или =0.

А вот все остальное действительно сложно и (если c && d не константы а переменные) то задача сводится к определению делимости m(n-1)/(m^2 -2n) где m,n натуральны, на этом застрял и стал сомневаться в корректности постановки задачи.

(43) там все верно, успокойся уже

(44) там это где ? и мы с Вами на ты не переходили.

(45) здесь все на ты, там это в (34)

(46)
Контр пример a=50,б=50, с= 77, д=77.
Его решение не правильное.

(47) кривой у тебя контрпример

(48) Почему

(47) Что это? Выкинь свой калькулятор.
50^3+50=125050
77*(50^2+50^2)=385000

(50) может он листике столбиком? ))

Сори, действительно напутал.

Если а=b
Получаем
a(a^2+1)=2ca^2
(a^2+1)=2ca, левая часть должна делиться на а, что возможно только при а=1

в (34) вроде всё верно.

a=b=любое натуральное число
c=d=любое натуральное число

(5) точно тупой

(56) к (55)

Пардон. Действительно ступил.

+(58) Осталось вторую часть ника подтвердить.