Собственно две задачи:
1. Для каких треугольников найдется точка, что любая прямая проходящая через нее делит треугольник на две фигуры равной площади?
2. Для каких треугольников найдется точка, что любая прямая проходящая через нее делит треугольник на две фигуры равного периметра?

зануда

проходящая через точку и к-л. вершину?

(2) необязательно

(0) Предполагаю что для треугольных.

1. Для любых
2. Для любых

(5) почему? почему?

(6) в постановке задачи не требуется доказать :)

(7) тру-математики всегда за свои утверждения отвечают

(0) центр описаной и центр вписаной окружностей?

(9) да ну?

для каждой точки будет только одна прямая

(11) да ладно, в первой задаче для точки пересечения медиан - как минимум их три

(0)
1. в такой формулировке ("любая прямая...") не существует таких треугольников и таких точек, потому что с одной стороны эта точка должна лежать на всех медианах, с другой стороны точка пересечения медиан не подходит, потому что прямая проходящая через нее параллельно стороне будет делить площадь в отношении 4 к 5.

Наверное все-таки, учитывая (2) ?

+ (13) есть большое подозрение, что для первой задачи, необходимым условием будет центральная симметрия, что для треугольника невыполнимо.

Длшя равносторонних?

(9) Центр описанной окружности может вообще вне треугольника быть.

(16) Любая прямая один фиг не подойдёт. Такая точка вообще только у окружностей существует.

(18) Хотя не, вру, как минимум у любого параллелограмма такая точка есть.

Так как медиана делит треугольник на две равные по площади части, то
1. Должна быть точкой пересечения медиан.

(20/) но быть ее не может, это понятно, ответ в 1 пункте - нет такого треугольника

(20)
Дальше муторно доказывать. Но получается, что стороны должны быть параллельны

(22) Дальше в (13)

(19) любой многоугольник с центральной симметрией подойдет, число сторон/углов у него будет четное

(21) у равностороннего может ) и получаем (9)

+(25) то что площади и периметры будут сохраняться при повороте прямой я думаю можно вывести из формул радиусов через стороны, площади и периметры

1. Для треугольников нулевой площади

2. Так же для треугольников нулевой площади

(25) Не может. В равностороннем эта точка - это пересечение медиан. Проведи из своей точки прямую параллельную основанию - площади половинок будут разными. Верхняя S = (1/2) * H1 * b,
нижняя S = (1/2) * H2 * (b + c).
H - это высота, причём Н1 = 2 * H2. b - это верхняя сторона нижней фигуры (трапеции) и основание верхней фигуры (треугольника). с - это основание изначального большого треугольника. Получаем, что площади двух фигур будут равны только если b = c, что в треугольнике невозможно.

(12) кто сказал что медианы делят треугольник на фигуры равной площади? я слышал только про "Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников"

(30) * на две фигуры равной площади

(0) Прикольная задача. Я бы порешал ее лет 15 назад.

(30) а подумать?, основания равны, высота общая

(33) ага ,верно, ну значит (5) верно

(34) нет

1. равнобедренного

(36) да замучали, для 1 задачи ответ - ни для какого

(37) и для второй задачи ответ такой же

(37)

2. равнобедренного

треугольник с тремя углами

а че тут думать то, причем это любая точка.

берем любую точку в треугольнике проводи прямую, получаем две площади S1 и S2 вращением прямой добиваемся равенство площадей

Круглый треугольник. А вообще баян.

по мотивам задачки возник вопрос : может ли у треугольника существовать точка, через. которую проходят не менее 3 прямых делящих площадь треугольника пополам, отличная от пересечения медиан?

(44) нет . кури как доказывается что точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника и наоборот.

такая точка у треугольника единственная

(45) Центр тяжести не делит площадь пополам.

(42) Тупость

(45) не вижу связи с центром тяжести. К тому же точек пересечения двух таких прямых бесконечно много

(48) >>> К тому же точек пересечения двух таких прямых бесконечно много

это вы уже в какое пространство перешли?

(49)  мы все еще на плоскости
+(48) предположительно геометрическое место точек где могут пересекаться такие прямые - маленький треугольник ограниченный прямыми параллельными сторонам исходного треугольника и делящими его стороны в отношении 1 к (sqrt(2) - 1)

(0) Используя известную формулу радиуса вписанной окружности r=S/p, легко доказать, что прямая, разбивающая и периметр и площадь треугольника на две равные части, проходит через центр вписанной окружности.
А найти прямую, разбивающую треугольник на две равноплощадные части, и проходящую через заданную точку внутри треугольника, можно так:
Пусть а и b - отрезки, отсеченные искомой прямой от двух сторон треугольника, a - угол между ними. . Площадь еще не построенного половинного треугольника  можно найти исходя из площади большого треугольника, деленую на 2. И эту площадь можно выразить следующими способами: Учитывая, что в данном случае заданная точка- центр вписанной окружности, эта площадь равна  ar/2+br/2 . Или, например, площадь можно выразить как (аb*sin a) /2.
http://s017.radikal.ru/i412/1208/39/47d2719f6971.jpg
(с)
И вот из учебника: http://kvant.mccme.ru/1972/07/gif/72_07-60.gif.

(51) Молодец конечно, но ты списала несколько другую задачу, чем то, что в (0)

(52) по ощущениям больше половины здешних писателей не читают  сообщение, на которое отвечают. Не только в этой теме )))
А в (51) хотя бы что-то интересное

(45)(46) даже в школьной программе я слышал про три понятия "центра тяжести треугольника"

(54)
Содержание [скрыть]

•Центры тяжести многоугольников и многогранников
?Двумерный случай: многоугольники
?Центр масс системы точек
?Центр масс каркаса
?Центр масс сплошной фигуры
?Случай треугольника
?Случай треугольника: доказательство
?Случай многоугольника
?Случай многоугольника: альтернативный способ
?Трёхмерный случай: многогранники
?Центр масс системы точек
?Центр масс каркаса многогранника
?Центр масс поверхности многогранника
?Центр масс сплошного многогранника
?Случай тетраэдра
?Случай произвольного многогранника

Центры тяжести многоугольников и многогранников

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будет сохранять свое положение.

Ниже рассмотрены двумерные и трёхмерные задачи, связанные с поиском различных центров масс — в основном с точки зрения вычислительной геометрии.

В рассмотренных ниже решениях можно выделить два основных факта. Первый — что центр масс системы материальных точек равен среднему их координат, взятых с коэффициентами, пропорциональными их массам. Второй факт — что если мы знаем центры масс двух непересекающихся фигур, то центр масс их объединения будет лежать на отрезке, соединяющем эти два центра, причём он будет делить его в то же отношении, как масса второй фигуры относится к массе первой.



Двумерный случай: многоугольники

На самом деле, говоря о центре масс двумерной фигуры, можно иметь в виду одну из трёх следующих задач:

•Центр масс системы точек — т.е. вся масса сосредоточена только в вершинах многоугольника.
•Центр масс каркаса — т.е. масса многоугольника сосредоточена на его периметре.
•Центр масс сплошной фигуры — т.е. масса многоугольника распределена по всей его площади.

Каждая из этих задач имеет самостоятельное решение, и будет рассмотрена ниже отдельно.

Но ни один из них не говорит что прямая проведенная через центр масс делит ПЛОЩАДЬ пополам.

(56) Для треугольников верно то, что медиана делит площадь пополам, а этого достаточно, чтобы утверждать, что если и существет такая точка, как в 0.1., то она непременно должна лежать в точке пересечения медиан. А этого достаточно чтобы доказать, что такая точка не обладает указанным свойством для любой прямой. Значит такой точки нет.

(57) Это ты к чему? Это давно доказано в ветке. И при чем тут центр масс?

(58) У меня ни при чем. А у тебя?

общий вывод по делению площади пополам:
не существует точек, через которые проходит более трех прямых из (0.1);
есть только одна точка, где пересекаются 3 такие прямые - пересечение медиан;
через любую точку из области, ограниченной прямыми параллельными сторонам и делящими площадь пополам, можно провести  две таких прямых;
через любую другую точку можно првести ровно одну такую прямую.
Применимо к любым треугольникам.

Так и не понял решили или нет?

(61) не таких точек, решили

(62) а решение где7

Любая прямая, проведенная через середину равностороннего треугольника, поделит его на две одинаковые по площади фигуры.

Про периметры сразу не соображается.

(64) что такое "середина равностроннего треугольника"? чисто интересно

(64) Беру свои слова обратно:)

(65) Пересечение вершин:)

(67) интереснее уже )) что это такое?

(68) Подловил, да?!
Давно геометрию не повторял. Сейчас на пальцах попробую.
В (64) имелась в виду точка, образованная пересечением перпендикуляров от угла к противолежащей стороне.
Еще вопрос и полезу в яндекс освежать знания:)

(69) Это точка пересечения. высот треугольника. Высота треугольника не делит его на две разные по площади части, так как площадь каждой части равна половине основания помноженной на высоту. А основание треугольника высотой на две равные части не делится.

В равностороннем треугольнике высота равна медиане, поэтому высоты поделят его на две равные по площади части, но естественно не любая прямая проходящая через пересечение высот делит его на две равные части. Это показано выше.
Проведи прямую параллельную любой стороне через эту точку.