Конечно или бесконечно число решений уравнения:
(p-1)!+1 = p^n
где
p - простое число, а n - натуральное число.

т.е. оценить количество таких пар (p, n) при которых (0)?

(1) типа того

Для любого простого p выражение (p-1)!+1 делится на p

(3) ну да, теорема Эйлера )
А к чему задача из (0) ?
Просто ностальгия по математике? Или из практического приложения?

(3) Каковы ващи доказательства!

(4) это не теорема Эйлера
(5) это теорема Вильсона

Тогда из (3) следует бесконечность количества решений

(7) почему?

(p-1)! = p^n-1 = (p-1)*(p^(n-1)+ ... + p + 1)
(p-2)! = p^(n-1)+ ... + p + 1

(8) Потому что множество простых чисел бесконечно и мы имеем бесконечное количество p решающих уравнение

при n=1

(10) то есть для любого p есть решение?
почему тогда его нет для p=7?

что то гоню я, сорри, обедать пора

Я знак равно протрактовал как "делится" почему то

всю ветку не читал. "нах?" уже было?

Для p=2,3,5 решения очевидны
Рассмотрим p>5

Факт 1.
2 < (p-1)/2 < p-2
значит 2 и (p-1)/2 входят множителями в (p-2)!
то есть (p-2)! делится на 2*(p-1)/2 = p-1 или
(p-2)! = R*(p-1), где R - целое

Факт 2.
для любого целого k>0 (p^k-1) делится на (p-1)
то есть p^k = 1+(p-1)*Q(k), где Q(k) - целое

Рассмотрим тождество из (9)
(p-2)! = p^(n-1)+ ... + p + 1
согласно Факт 1 и Факт 2 можно переписать:
R*(p-1) = (1+(p-1)*Q(n-1))+(1+(p-1)*Q(n-2))+ ... + (1+(p-1)*Q(1)) + 1
R*(p-1) = (1+...+1) + (p-1)*(Q(n-1)+...+Q(1))
(1+...+1) - здесь ровно n единиц, остальные слагаемые делятся на (p-1) значит n=k*(p-1)>=p-1

оценим теперь (p-2)!
(p-2)! > p^(n-1) >= p^(p-2) - противоречие

При p>5 решений нет