2-5+1+4
пример для школьника второго класса, подобное по вечерам разбираем уже где-то 5-тое занятие. Надо непротиворечиво, от Адама и Евы объяснить и рассказать, почему можно группировать операции сложения и переставлять операнды.
Прежде всего это пример на аккуратность: нельзя складывать числа с конца. Есть правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Записано оно х + у = у + х.
Уже прозвучали слова оператор, операнды, коммутативность. И самое главное, для нас, программистов: порядок сложения строго слева направо.
И было огромное желание оттолкнуться от множества чисел.
И тупик.
Абстрагируя операцию сложения от множества, на котором она введена мы получаем нонсенс в чистом виде.
Сложение изучать начинают на множестве натуральных числе, бесконечность ряда которого доказывается через операцию сложения. Определение n-того члена опять через операцию сложения, само понятие n - есть сложение единиц, пальцев, яблок, костей на счетах
Нет единого корня, от которого бы выросло знание.
Первопричина - бог, и пора его в натуральные числа вводить. Бог - это возможность прибавлять. Это возможность использовать оператор плюс и определять через него меру вещей. И хорош богословия, на этом.
Нельзя вводить оператор плюс, абстрагируя его от множества, которое через него же и определяется. Ничего нельзя доказывать про операцию сложения, когда самая основа произрастает из него дана без доказательства.
Как подать знание?

(54) Он возникает в теории множеств. Тут же. Но не с операцией объединения. Слава богу. Можно дать операцию объединения на множестве огурцов или яблок, на пальцах  и счетах. А затем пытаться вводить построения множества подмножеств как-то упорядочивая результаты работы.

В школе, емнип, через числовую ось объясняют

(62) вот тебе множества, смотри.

http://www.mamapapa-arh.ru/publ/103-1-0-74

много ты их там увидел?

если говорить об аксиоматике Пеано, то используется "следование", речи о сложении нет. операции сложения и умножения вводятся отдельно.

ученый дурак )

(60) "откуда в советской науке взялись великие ученые" а я видел это своими глазами, как они появлялись. Начинает решать ребенок олимпиадные задачки при помощи какого-либо увлеченного папы-мамы-учителя и через возникшее чувство между учителем и учеником к ученику приходят подспудно понятия индукции, непрерывности, рекурсии ... и он начинает занимать места, затем в вузовских олимпиадах, затем на конкурсах молодых ученых, потом кандидатская, потом ....
Только если в детстве человеку дали математику /физику глубоко и умело - только тогда вырастает ученый.

(65) "переход на бесконечность без сложения невозможен", а для конечного множества - да можно определить следование не используя сложение.

"бесконечность ряда которого доказывается через операцию сложения"
ну это же неправда.
не доказывается она.
определение натуральных числе такое. что следующее за натуральным число является натуральным.

(66) Я тоже жалею о том, что говорил с Вами.

(67) может быть, но заметь, что этому же будущему ученому математику начинали давать с общепринятных азов, а потом уже в процессе возник или привился интерес, благодаря учителю, родителям или еще чему

приведите доказательство бесконечности натуральных чисел через сложение о котором вы говорите.

(69) Я не аккуратен в формулировках, увы, учился уже давно, сейчас исправлюсь.
Нет, не "доказывается" - "вводится".
Сложение зашито в функцию следования. От того, что сложение назовем следованием, оно сложением быть не перестанет.
Следование - не просто сложение, а сложение с единицей.

(72) А может ли функцией следования быть умножение на 2?

Чет ни понял, почему с конца складывать низя?

2-5+1+4  насколько я помню полная запись будет
(+2)+(-5)+(+1)+(+4) попробуем с конца, (+4)+(+1)+(-5)+(+2)

(75) Можно складывать с конца, однако вот это "можно" надо уметь строго доказывать. И ещё надо помнить о том, что операторы применяются таки слева направо, иначе это уже другой пример. Переставь операнды, обоснуй по коммутативности - вперед.

(67)"Только если в детстве человеку дали математику /физику глубоко и умело - только тогда вырастает ученый." это если учитель толковый.

это как с моим руководителем на работе, как тех специалист он хорош, но как руководитель полный ноль. Т.е. ты можешь сам знать математику на пять, но так будешь ее преподавать что твой ученик в итоге будет ее знать на два.

(13) обман, 000+00=00000, если не согласен, то так **+***=*****

по моему, тут клиникой попахивает!Автор пытается впихать не впих..емое =)

(78) но так будешь ее преподавать = но так ее можешь преподнести

(78) И это тоже один из вариантов. Близкий к моей ситуации. Я не раз обучал студентов и школьников индивидуально, всегда был не доволен своей работой. Они, правда, были довольны и оценки их поднимались балла на 2 вверх. Но тут сын. Это более сложные отношения.

(80) Да, это не во все студенческие головы впихивается. Вот правда не все студенты стараются это туда впихнуть.

(75) видимо потому что 2-5=-3
а ребенок не понимает как это было 2 яблока из них 5 съели и осталось -3

Бежать сыну, надо бежать пока есть возможность.

(74) почему нет?
множество степеней двойки.
вводите его по аналогии с натуральным рядом и пусть следование будет на нем эквивалентно очередному умножению на 2.

(84) ну тут надо мягко объяснить что такое отрицательные числа, для чего они нужны. попытаться например объяснить через долг например - взял взаймы, есть долг - значит минус. это если с деньгами. или с температурой. или еще как то.

(82) так смысл моего поста не тебя обгадить, а донести мысль что своими благими намерениями ты можешь (не дай бог) навредить.

вот тебе еще пример
великий футболист может быть посредственным тренером а может и вообще им не быть. и таких примеров миллион.

как мне кажется, для ребенка лучшая помощь будет тогда когда сын подойдет с текущими заданиями и попросит помочь, если с чем то не справился или не понял а ты по учебнику школьному все ему объяснишь как ему рассказывают в школе. где-то так.

(86) Например потому, что слова "натуральный ряд чисел" вызывают в мозгу многих математиков последовательность 1,2,3...
Кроме того, некоторые включают ноль, как например при определении из множеств, а согласно аксиомам Пеано к единице не существует предшествующего.
А в вики вообще в последнем переводе аксиомы индукции на русский язык вместо S(n) написали n+1, чем собственно и спалились по полной.
То есть произвол функции следования - не естественен. Все знают, что функция следования - это сложение с единицей. И когда это умножение на 2 - это клиника ступор. Там поди ещё и работать чего-нибудь перестанет.
Натуральный ряд чисел определен через сложение и нечего сложение над ним вводить как абстрактную операцию, конструируя кольца, поля и алгебры.

(88) я своим пытаюсь всегда подкинуть примеры, которые показывают, что на самом деле все шире и сложнее. чтобы не складывалась в голове простая и завершенная картина - мне кажется это путь к закостенению мышления.

(88) Я, как родитель не вижу пользы от пребывания ребенка в образовательном учреждении, когда  в голову кладут несвязанные знания, висящие  в вакууме и называют это построение образованием.
Тут многие критикуют оппозиционеров и патриотов, они же мыслят штампами, так вот со школы это начинается. Быдло ненавидит небыдло и наоборот, хотя в сущности они друг от друга не отличаются вообще. И все школа.

(90) это все индивидуально, все дети разные.

(89) это плохие математики..
введите следование как операцию умножения на i - мнимую единицу.
получится замкнутая группа из 4 чисел, которые вполне себе следуют друг за другом без всякого сложения.

(93) У единицы нет предшествующего!!!

(88) "как ему рассказывают в школе"
отрицательные числа в школе вроде только с 5го класса

а мнимая единица, кажется только на втором триместре вышмата.

(95) так я ТС писал что всему свое время. или  просто не дописал "как ему рассказывают в школе на текущий момент"

Ноль в нулевой степени.

(94) согласен, натуральные числа согласно классическому определению начинаются с единицы. к чему был этот пост? я не возражал против этого.

100

(96) у нас 11 класс был с мат. уклоном -
рассказывали во 2м полугодии

OFF: Философия математики: результат от ноля раз

(99) К тому, что четыре вектора в комплексной плоскости не могут быть натуральными числами с функцией следования *i,
там к единице есть предшествующий.

(102) Вот есть такое желание, чтобы каждый мог доказать свое утверждение. А приведенные тобой ветки как бы намекают.

(103) я привел просто пример. логично что на комплексной плоскости с умножением на мнимую единицу натуральными числами числа быть не могут ))
"там к единице есть предшествующий."
неправда. из аксиом это не следует. точнее наоборот. единица определена как выделенный член множества для которого нет предыдущего.
то что кто то добавляет сюда ноль - его личные фантазии, возможно в какой то мере и полезные, НО!
никоим образом не согласующиеся с определением натуральных чисел.

(105) Я ж про то и пишу, что -i это элемент, предшествующий единице, поэтому нельзя 4 числа (1, i, -1, -i) называть натуральными числами. Не удовлетворяет эта 4-ка третьей аксиоме Пеано. Поэтому пример, который ты привел не годится.
Ряд степеней двоек - удовлетворяет всем пяти аксиомам Пеано, но при этом никем в качестве натуральных чисел не употребляется.

Сделаю ещё одну попытку:
Дано - 5 аксиом Пеано для определения натуральных чисел. Я беру множество чисел: 1 (самую настоящую единицу) и функцию следования *2i. Надо доказать, что данная функция следования не разрушает 5 аксиом Пеано и ряд
(1, 2i, -4, -8i, 16 ...)
есть не что иное как натуральные числа, а значит -4 это натуральное число.

боюсь 5 аксиома для таких чисел не факт, что будет работать

хотя я не математик - предоставим это математикам

(108) Я боюсь, что даже для привычных нам натуральных чисел её работа лишь постулируется, а не проверяется.

(107) таким образом ты строишь множество, которые взаимно однозначно соответствует натуральному ряду

+(111) дело ведь не в обозначениях

именно, почему +1 выделенная функция? мы сделали функцию другую и получили не натуральный ряд а однозначное соответствие, но почему не назвать наш ряд натуральным а привычный нам натуральным - его соответствием. вопрос как я понимаю лежит где то рядом.

(111) Единица в аксиомах Пеано должна быть самая настоящая.
С точки зрения теории множеств Можно установить взаимнооднозначное между N и Q.
Я сейчас бодаюсь за то, что функцию следования надо обязательно определять как сложение с единицей и никаких других натуральных рядов получать нельзя.
Не надо прятать оператор сложения внутрь некоторой функции.

(114) чей-то "должна быть самая настоящая"?
и что есть самая настоящая единица?

есть такая математическая поговорка: "натуральные числа даны от бога, все остальные абстракции придумали математики"

Расскажи ученику про аксиоматику пеано. Пусть к хардкорной математике сразу привыкает

(115) Бывает так, что математики считают единицу нулем для умножения, которое вводят в качестве сложения. То есть бывает, что единицей обозначают некий специальный элемент.
А тут единица это именно число, и поскольку его натуральность ещё только определяется, мы не можем сказать "натуральное".
Да натуральные числа "от бога" к этому и прихожу.

(116) а чтобы не казалось это полным бредом предложить задачку как конем обойти шахматную доску)
чтобы идея ходить по клеткам слева вправо и снизу вверх или наоборот не казалась единственно возможным способом перебора.

(117) все остальные числа определяются через натуральные, о каком тогда числе можно говорить, если мы пытаемся определить натуральные?

(119) натуральные вроде через пустое множество определяются

(120) что-то да, такое было, надо вспомнить...
пусть "пустое множество" есть некий "объект данный нам свыше", давай продолжай

(119) А натуральные через единицу и "+". Но есть ещё и теоретико-множественное определение натуральных чисел. Там чисел нет вообще (пока, просматриваю и не вижу)
(116) Через некоторое количество занятий надо рассказать о принципе математической индукции. И как же его дать?
Если как аксиому, то получается, что я вешаю принцип сверху.
А если так, что мол аксиомы Пеано - не доказываем, а для натуральных чисел проверяем пятую аксиому ... то как?

(121) -> (18), (21)

Множество состоящее из пустого множества + пустое множество - это единица.
Множество из 1 и пустого множества - 2 и тд.
Вроде так

(122) так вот единица это там не число, это "нечто"
в общем метафизика сплошная

0 = {0}, 1 = {{0}, 0}, 2 = {{1}, 0} и тд

(122) так это и есть 5я аксиома. принцип математической индукции. то есть доказывать ее можно если взамен нее ввести некую равнозначную ей. если исключить ее без замены то доказать ее невозможно.

(126) хорошо, почему {{0}, 0} и {{{0}, 0}, 0} различны?
здесь 0 - пустое множество

(127) Короче, мат индукция есть свойство натурального ряда, дана от бога, берем и пользуемся.

(129+) Но ведь оператор сложения с единицей тоже от бога дан. Я опять не могу вытащить сложение абстрактной операцией над некоторым множеством чисел.

(117) более того если бы на руках было 8 пальцев ....

(131) чтобы изменилось кроме системы счисления, которая, кроме как на запись чисел, ни на что не влияет?

(132) система счисления бы и изменилась...

wiki:Полугруппа
это оказывается почти полугруппа.
вот книжки по разделам математики где группы кольца и прочие математические объекты изучаются надо почитать желательно в популярном изложении... думаю найдется ответ.

(133) система счисления это запись чисел, не более, все математические факты, которые не касаются записи числа останутся верными

(134) почему почти?
это полугруппа и по сложению, и по умножению и по взятию максимума или минимума

(1) эм... я вроде еще в садике это освоил..

(136) почти потому что в классическом определении ноль не натуральное число а по сложению нейтральным элементом должен быть как раз ноль.
только поэтому на мой взгляд.

(135) верными в рамках какой алгебры?
wiki:Алгебраическая_система
вот тут на выбор есть несколько.

(138) можешь добавить к натуральным 0, все равно это будет полугруппа и по сложению и по умножению
(139) той-же самой, разрешаю писать числа римскими цифрами, математические факты останутся теми же

(140) именно если добавить ноль это и будет полугруппа. я повторяю, что в натуральных числах в классическом определении нуля нет, соответственно нет нейтрального по сложению элемента, соответственно это не полугруппа.

срочно нужна голосовалка с одним вариантом: кг/ам

собственно если подходить именно с такой позиции как предложено в построении алгебры то выделенность нуля и единицы понятна как нейтральных по операциям элементов. другое дело почему одна операция (сложение) выполняется с нейтральным элементом по другой операции (единицей)... тут должна быть некая тайна)

(142) И Вам, Андрей Александрович скатертью по зопе.

хотя если возможно доказать эквивалентность выбора любого инкримента в качестве операции для построения множества - то можно считать выбор единицы обоснованным)

(128)Это определение Фреге-Рассела.
{{0}, 0} и {{{0}, 0}, 0}  - различны, потому что состоят из разных элементов, {0} <> {{0}, 0}

(146) а почему элементы {0} и {{0}, 0} различны?

(147) начнем с того что 0 - пустое множество и {0} - различны

(147) А эти различны потому что в одном 1 элемент, а в другом 2

(149) какие 1 и 2? мы же их определяем? ну натуральные числа, их же пока нет

Говорят, что пустое множество содержится в каждом множестве.
Так почему {0} <> 0 и {{0},0} <> {0}

Почему мысль о пустоте отличается от пустоты, почему разговор о пустом множестве имеет содержание?

Когда из вакуума появляются электрон-позитрон пара как не определить один через другого? Как выделить электрон не на фоне позитрона, а сферически в вакууме? И надо ли это делать?

(150) Спасибо за комментарий про 1 и 2. Я ведь чуть было не оперся на это.
Надо вводить симметрическую разность и показывать, что множества тождественны, если она пуста. И тут опять {0}?=0

тому, кто мне покажет живого второклассника, который разберется во всем этом околонаучном бреду, я выставлю бутылку хорошего коньяка.

(155) думаю есть такие, только конечно не в севастополе (или где ты там)

(155) которую должен будет выпить этот второклассник.

(156) искать надо в регионах где у всех выпускников на ЕГЭ результат 100 баллов? Ну там в Махачкале, в Буйнакске?

Всё не читал, ТС ещё не предлагали на примере мандаринов объяснить?
+ТС в теории множеств не шарит

(0)ты бы книжку какую почитал по детской психологии. угробишь пацана.

(160) Любить надо детей, а не книжки по психологии читать. Если кто педагога школьного добрым словом может вспомнить - так это чаще от того, что отношения были добрые.
Я типа угроблю, а в школе профи ага.