Прямоугольник разбит на меньшие прямоугольники. Причем у каждого из меньших есть хотя бы одна из сторон c целой длиной (в сантиметрах). Верно ли, что у большого прямоугольника тоже хотя бы одна из сторон имеет целую длину сантиметров?

22!

(1) ту-ту?

(0) Да

(3) почему?

(4) Почему в (0) не спросил "Почему?"

(5) потому что я всегда спрашиваю, голословные ответы не интересны

"я всегда спрашиваю" - это не ответ.
Надо сразу спрашивать, тогда не будет голословных ответов.

(7) ты ошибся секцией, извини

(8) А почему ты в (0) не написал "Извини"? :)))

верно ли что  сумма площадей всех прямоугольников равна площади прямоугольника?

(10) конечно

Верно ли что прямоугольники ровные, с прямыми углами?

Прямоугольник можно сгибать?

Начнем с обратной процедуры - с построение такого прямоугольника(П). Берем один П, в этом случае одна сторона с целой стороной(1), а другая нет(0). Если на этом шаге остановиться, то наш итоговый прямоугольник(ИП) с целой стороной. Но нас это не устраивает и мы решаем добавить с той стороны, где целая сторона(1), П с нецелой стороной (0). Но он не может быть с 0 и 0, поэтому мы делаем его короче, чем первый П и делает эту сторону (1). В результате, получается не полностью заполненный П, то есть необходимо добавить П. Но, если мы захотим добавить один П, чтобы заполнить оставшийся объем, то не сможем этого сделать, так как придется использовать П с 0 и 0. И у нас опять остается непокрытая площадь. Опять идем к следующей итераци и т.д. В результате получается, что построение ИП процесс бесконечный. А так как ИП у нас существует, то есть построен, то получается, что у него одна сторона будет целая.

(14) не все можно получить добавлением одного

(14) "поэтому мы делаем его короче"
почему не длиннее?

(14) Бесконечный и существуют - не взаимосвязанные и не взаимоисключающие понятия.

(16) без разницы.

(15) добавление одного, это просто шаг итерации.

(19) не все разбиения можно так построить

(20) то есть есть разбиения не из прямоугольников? Я просто описал процесс посмотроения прямоугольника из прямоугольников. Что там нелогичного?

(21) Ты описал частный случай, а не все возможные варианты

Я описал алгоритм построения прямоугольника из прямоугольников по логике построения, чтобы избежать стороны с целой стороной. Это просто минимальный алгоритм, который можно расширить во все стороны, но итогово он будет таков.

(23)
аббб
аггс
аггс
ьььс
разбиение не построить по твоей схеме, а оно имеет право на жизнь

(24) по вашей схеме непонятно какая сторона является целой, а какая нет. приведите пример и почитайте алгоритм построения и вы поймете, что делали это как раз по алгоритму.

(23) алгоритм какой-то мутный

(26) Простите, высоким слогом не обладаю. Суть в том, чтобы сторону прямоугольника, из целой превращать не в целую, путем добавления дополнительных прямоугольников и заполнения пробела внутри до полного прямоугольника. Но именно на этапе заполнения, мы приходим к противорению и продолжаем либо дробиться в меньшее, либо добавлять еще. и в результате опять приходим к той же ситуации.

(14)"в этом случае одна сторона с целой стороной(1), а другая нет(0)"
и это неверно, кстати
могут быть две целые стороны

(28) в этом случае работы больше

(29) Слишком много случаев. И вариант из (24) по твоему алгоритму не строится.

(30) в варианте (24) не указано какие стороны с целой стороной, а какие нет.

(31) Даже если указать любые, все равно не строится.

(30) ваши случаи как раз берутся из частного подхода, а не универсального. чтобы рассмотреть все частные подходы - жизни не хватит.

(33) Ну ты один рассмотрел. Осталось остальные рассмотреть.

(32) в том-то и дело, что доказательство от противного, что по алгоритму построения прямоугольника, состоящего из прямоугольников, у которых хоть одна сторона с целой длиной, чтобы у него были обе стороны не целые уходит в бесконечность и недостижимость.

(35) Ты пытался доказать что только твоим способом нельзя построить. Про другие способы ты не доказал.

(34) предложите хоть один вариант, построение необходимого прямоугольника. тем самым вы докажете, что мой алгоритм неверен.

(36) этот способ построен на минимизации движений на достижение необходимого результата, любой другой алгоритм построения будет проходить через те же шаги.

(37) Ты сам доказал (почти) что твой алгоритм не верен. Если я приведу другой неверный алгоритм, ничего это не докажет

(39) чем же доказал? приведи доказательство.

(14) почему я должен на первом же шаге к целой стороне достраивать дробную? может у меня это произойдет на 100500 шаге?

(40) Ты же сам пытался доказать что по твоему алгоритму нельзя построить? Или не доказал?

(35) То что уходит в бесконечность - это еще не означает невозможность. По условию прямоугольник уже построен, и значит тебе не придется его самому строить бесконечно долго, все уже сделано за тебя, радуйся.

(41) суть будет таже

решение (не мое, но мне нравится) выкладывать уже?

дада

Факт: Прямоугольник имеет целочисленную сторону тогда и только тогда, когда интеграл функции sin(2*pi*x)*sin(2*pi*y) по этому прямоугольнику равен 0.

(47) Где доказательство?

(47) супер

в (10) подсказка была? тонкая, ппц, красотищща

(48) вот этот интеграл http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sin{2\pi&space;x}dx\int_{y_{1}}^{y_{2}}\sin{2\pi&space;y}dy

(51) Ну ты изверг :)))

Сюда люди от горя приходят, со слезами на глазах, а ты ребусы загадываешь :)

(49) (50) мне тоже расскажи, что ты понял. А то я не догоняю.

Решения так и не будет?

Какая-то дохлая тема.

(53) просто интеграл по большому разбивается на сумму интегралов по маленьким и потом (47)

(56) А, точно! Интеграл же разбивать можно. Совсем забыл школьные уроки.

(54) в (51) там произведение интегралов, если y2-y1 целое, то второй интеграл равен 0
наоборот, если интеграл равен 0, то один из множителей равен 0, а значит разность границ интеграла равна целому числу

это доказательство факт из (47)

(58) это то понятно, что если на умножить на 0 то получится 0.

(58) Просто факт из (47) можно интерпретировать так:
"Прямоугольник имеет целочисленную сторону тогда и только тогда, когда одна из его сторон целочисленная."
А в этом нет ничего полезного.

Пусть длины сторон прямоугольника N+X, M+Y Где N, M - целые, 0 < X,Y < 1
Наложим на прямоугольник черно-белую шахматную сетку с длиной стороны квадрата 1/2. Пусть
край сетки находится в левом нижнем углу прямоугольника.
Заметим, что каждый маленький прямоугольник с целой стороной будет состоять из суммарно равных
частей по площади белых и черных частей. Для этого достаточно поместить маленький прямоугольник
в левый нижний угол и дальше смещать параллельно осям сетки.
Поскольку большой прямоугольник состоит целиком из маленьких, то он также должен состоять из
суммарно равных частей по площади белых и черных частей, на которые его делит сетка.
Т.к. M, N  целые, то часть прямоугольника MxN можно отбросить - в ней площадь белых и черных частей равны.
Также можно отбросить полоски (N+X) x M  и (M+Y) x N, т.к. M и N целые.
Остается рассмотреть прямоугольник X x Y в верхнем правом углу.
Он должен состоять из частей черного и белого цвета, равных по площади.
Если 0 < X,Y <= 1/2 то он целиком одного цвета - противоречие.
Если 0 < X < 1/2, 1 > Y >= 1/2 - то он разбивается сеткой на две части X x 1/2 и X x (Y - 1/2), которые  не
равны по площади - Противоречие.
Остается рассмотреть третий случай, когда X = 1/2 + x, Y = 1/2 + y, 0<x,y<1/2
Тогда прямоугольник разбивается сеткой на квадрат 1/2 х 1/2 и прямоугольники 1/2*x, 1/2*y, x*y
Их равенства площадей должно выполняться: 1/2*1/2 + xy = 1/2*x + 1/2*y
1/4 + xy -1/2x - 1/2y = (x-1/2)(y-1/2)=0 - противоречие с условием 0<x,y<1/2
Значит либо X либо Y = 0, т.е. одна из сторон прямоугольника - целочисленная.

Похоже это решение можно расширить на трехмерный случай, разбивая параллелепипед на кубики 1/2х1/2х1/2
т.к. (x-1/2)(y-1/2)(z-1/2) = 1/8 + xyz + объем параллелепипеда другого цвета.

(61) да, это тоже решение
ищется любая аддитивная функция, имеющая инвариант на целочисленных полосах
спасибо

(61) Молодец. Кажется что это решение то же самое что и предыдущее, только синус заменен на квадраты двух цветов.