Для одной темы каждая задачка маловата, поэтому сразу две)
1. Верно ли, что любое четное число можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, все цифры которых нечетны?
2. Верно ли, что любое нечетное число, большее 1, можно представить в виде суммы трех натуральных чисел, все цифры которых нечетны?

(0) 2 же следует из 1 моментально?

(1) Может следует, а может и не следует) Зависит от истинности 1.

(0) Тогда тупо индукцией.

Для 2 - это 1 и 1,

для пусть на шаге к - это будет 2*к+1 = а1+а2, где а1 и а2 нечетные. Возьмем шаг к+1. ТОгда 2*(к+1)+1 = 2*к+1+2. Заменяем ,получаем а1+а2+2. (а2+2) - нечетное, т.к. а2 нечетное. Значит наше предположение верно. ЧИТД.

(3) а потом уже (1)

(3)2*к+1 = а1+а2, где а1 и а2 нечетные это как?

(3) Нет, условие не до конца прочитал.

(6) А, да. Точно. Тупанул. Еще подумал, что слишком уж просто :)

(0)1 - нет, пример 260
чтобы разложить по условиям задачи, максимальное число из суммы должно быть от 131 до 199, при этом соответствующее парное число будет иметь четную цифру в десятках

2 интереснее - но ушел работать

199 + 151 = 260

(10) посчитай еще раз

(8) в общем случае, если в числе есть 0, то разложить нельзя, если в следующем разряде у числа четное число. потому что 2 нечетных числа + 1 (от переноса получаемого от пред. 10) получается нечетное.

(12) 60=59+1

(13) ну так не честно :) у 1 во втором разряде 0 :)

(14) 110=55+55)

(0) по п.2

3 = 1 + 1 + 1
5 = 3 + 1 + 1

ну и так далее

(15) у 110 десяток нечетный. а я писал, что если четный

(16) 23= 21+1+1?

(18) ну да ...

0 - не натуральное число. Вопрос о его четности некорректен

(20) Хочешь сказать, что число 101 не содержит четных цифр?

261 можно разложить как

131 + 119 + 11

то есть хотя 260 нельзя разложить на два числа с нечетными цифрами, 261 можно разложить скинув "лишние" единички к "базовой" 1.

в (18) также скидываем из 21 десяток к базовой 1 -
11 + 1 + 11

затупил. Четное, но не натуральное

(22) итого рассмотрены числа 3,5,23 и 261)

(22) "скиньте десяток" в 101=99+1+1

(25) зачем?

(26) ошибочка не 101, а 301: 301=299+1+1 - не катит, по вашей логике должно прокатить 289+11+1

(27) по моей логике это 199 + 1 + 101, затем 199 + 11 + 91

(28) теперь откуда-то взялось 101... пожалуйста, опишите поподробнее логику, вот берем число, что с ним делаем, и куда в каких случаях перекидываем какие единички. берем 431,
429+1+1 - не катит, 199+1+231 - тоже не катит, 199+11+221, что и куда нужно дальше перекинуть?

(0)ну если 0 исключить то любое четное число А можно представить как сумму (А-1) + 1.

(30) "ВСЕ цифры которых нечетны"

(0) Нет в любых вариациях. Для любого конечного количества числел найдется число, которое нельзя разложить на сумму.
Потому что нечетных (четных) числел от 1 до 10^n будет 10^n/2,
а чисел с нечетными цифрами = 5+5^2+5^3+..+5^n
Т.е. можно взять достаточное большое n, чтобы первое множество нельзя было покрыть произведением вторых множеств

(32) Отсыпь и мне забористой)

(32) А, не ошибся, (5^n)^3 > 10^n

ну и ответ на (0).2: да
431->311+61+59, в частности
- проверяем до 100 вручную
- выбираем первое число 111..11 (N1)
- конструируем (иногда прибавляя 2 к соответствующему разряду 1го числа) желаемый остаток (N-N1) по принципу:
- за нечетным - нечетное: выберем его из {1,5,9}
- за нечетным - четное: выберем его из {0,4,8}
- за четным - нечетное: выберем его из {3,7}
- за четным - четное: выберем его из {2,6}
И поделим остаток пополам (он будет состоять только из нечетных цифр)

не касаясь того что это можно сделать всегда

(0)

1. Верно ли, что любое четное число можно представить в виде суммы двух натуральных чисел, все цифры которых нечетны?

Ответ: Неверно.

Доказательство:

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Множество натуральных чисел строго положительно, иногда к ним также причисляют 0.

Чётное число — целое число, которое делится на 2.
Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка.

Чётные и нечетные числа принадлежат множеству целых чисел, которое заведомо больше множества натуральных числе, т.к. включает отрицательные числа.

Вывод:

Отрицательные четные числа нельзя представить в виде суммы натуральных нечетных чисел, так как если N > 0 и K > 0, то N + K > 0.

1.
Представим четное число в виде:
А = а(н)а(н-1)...а(3)а(2)а(1)
Первое нечетное слагаемое в виде:
Б = б(н)б(н-1)...б(3)б(2)б(1)
Второе нечетное слагаемое в виде:
В = в(н)в(н-1)...в(3)в(2)в(1)
для случая одноразрядных слагаемых верны следующие равенства:
б(1) + в(1) = а(1) либо б(1) + в(1) = 10 + а(1), то есть происходит перенос единицы в старший разряд.
В общем случае для четной суммы в самом младшем разряде всегда четная цифра. Подбираем пару нечетных цифр для слагаемых, которые дадут в результате либо а(м), либо 10 + а(м), если в следующем разряде суммы нечетная цифра.
Однако ноль может быть получен только в виде:
б(м) + в(м) = 10 + а(м), где а(м) = 0, то есть всегда возникает перенос единицы в старший разряд.
Тогда, если сумма представлена в виде ...а(м+3)а(м+2)а(м+1)..., где а(м+1) = 0, а(м+2) и а(м+3) - любые четные цифры, то какую бы пару б(м+1) и в(м+1) мы не подобрали, а(м+2) должна быть равна б(м+2) + в(м+2) + 1. Это возможно, только если б(м+2) (или в(м+2)) равны нулю, то есть разрядность числа б (или в) ограничена м+2 позициями, но тогда для получения четной а(м+3) нет ни какой возможности, ибо в(м+3) + 0 всегда будет нечетное число.
Ответ: невозможно

вторая задача. При любой цифре в последнем разряде у нас есть возможность отнять от следующего разряда четное или нечетное число
для последней 1 можно отнять 11 или 21; для 3: 3, 13, 23; для 5: 5, 15, 25; для 7: 7, 17, 27; для 9: 9, 19.
В итоге мы всегда можем так избавиться от младшего разряда так, чтобы оставшееся число было нечетным. Повторяем до последнего разряда. Ответ: возможно (если не учитывать (37) - не поспоришь)

для первой задачи такой фокус не проходит: при нуле в последнем разряде, при избавлении от младшего разряда в любом случае от числа отнимем 10. Получившееся число (отняли 10, отбросили 0) может оказаться нечетным. Для чисел меньше 200 спасает возможность иметь 0 в старшем разряде (разная разрядность чисел). Начиная с 220 разложить уже не получится.

По 1, можно без сложных размышлений написать простенький скрипт, который полным перебором найдет нам 220, которое нельзя разложить на слагаемые из нечетных цифр. Убедиться что нельзя можно с помощью excel, там всего-то 55 пар надо глазами проверить.

(40) Любое отрицательное четное уже не подходит. И никаких сложных размышлений)

(39) а какой смысл отнимать 21?

(42) нужно чтобы при отбрасывании младшего разряда осталось нечетное число.
Например, от 411 отнимаем 21, чтобы получить 39; а от 421 отнимаем 11, чтобы получить 41

(43) но в 21 ведь четная цифра. Оно не подходит.

(44) 21 = 7+7+7 = 5+7+9 = 3+9+9 эти цифры будут в последнем разряде разложения, а "2" отнимаем от следующего разряда

Зачем смотреть на старшие разряды, если нужен только младший из определения нечетного числа и признаков делимости на два)

Для нечетных:
...1 = 1 + 1 + 9
...3 = 1 + 1 + 1
...5 = 1 + 1 + 3
...7 = 1 + 1 + 5
...9 = 1 + 1 + 7

А остальные разряды какие угодно, вплоть до "все нечетные".

(39)как по такой логике разложить 1111?
(41)четное натуральное больше устроит?

(47)
1111
1)  могу отнять 11(останется 110*10) или 21 (отстанется 109*10). Устраивает 109, т.к. нечетное
21=7+7+7

2)109: отнимаем 9 (ост. 10*10) или 19 (9*10)
выбираем остаток 9
19 = 7+7+5

3)9 = 3+3+3

Итого 1111=377+377+357

Логика у всех решивших примерно одинаковая, привожу авторское решение.
Заметим, что получить последнюю нечетную цифру нужной суммы можно, используя последние цифры трех слагаемых двумя способами, в одном из которых перенос в следующий разряд четное число, а в другом – нечетное (…1 = 7 + 3 + 1 = 7 + 7 + 7, 3 = 7 + 1 +5 = 7 + 7 + 9 и т.д.) Таким образом, можно построить слагаемые, начиная с младших разрядов, подбирая их цифры, чтобы получать цифры суммы и четный перенос в следующий разряд, кроме самого последнего переноса, который обеспечит нечетность последнего разряда суммы.