http://s00.yaplakal.com/pics/pics_original/1/3/4/8807431.jpg

3,5   4,5
9,5   3,5

x+y = 8
z-t = 6
x+y+z-t = 14   (1)


y+z = 13
y+t = 8
x+y+z+t = 21   (2)

из (1) и (2) получаем 2t=7, t = 3,5
дальше все просто

быстро, однако :)

(3) 5 лет студентов учил

(2)  Что то сложно.  верх лево и низ право равны ибо перемена мест слагаемых сумма одна.
Так что получаем x+y = 8   z-x = 6  x+z = 13
z= x+6    2x=7..  ну и все.

Лень думать
algsys([x + y = 8, z - t = 6, x + z = 13, y + t = 8], [x,y,z,t]);
[[x=7/2,y=9/2,z=19/2,t=7/2]]

Зачем предлагать школьные задачки? Вот задача для студентов из матана. Вычислить

lim ((sin(tg(x)) – tg(sin(x)))/(x^7)) при x --> 0

Подсказка: Maple или аналогичной программой не пользоваться. Достаточно будет изложить правильную идею решения.

(7) Натравить на него правило лопиталя для начала. Шо нибудь да сократится.

(8) Просто применения правила Лопиталя недостаточно при ручном вычислении, зароетесь в вычислениях очень надолго.

Я бы воспользовался lim членов.

(7) sin x ~ x , tg x ~ x  при малых х. так что вверху 0 первого порядка, а внизу он 7 порядку. бесконечность в ответе.

(5) у тебя проще?)) ты ж повторил мою запись...ну кой чего в уме сделал )

(7) разложить числитель в ряд Тейлора и скуркулировать

(11) Точнее sin x ~ x  + o(x), tg x ~ x + o(x), т.е. это разложение до малых первого порядка, а нам надо представление до малых седьмого порядка o(x^7). Формально применяя правило Лопиталя мы можем сказать, что предел равен седьмой производной числителя, вычисленный в нуле, деленной на 7! (факториал). Другое дело, что вычислить стандартным способом вручную семь производных числителя практически нереально, будут сотни, если не тысячи членов. Нужна какая-то дополнительная.

Кстати, нам эту задачу задали в числе 30 (!) подобных, на семинаре по матану, на первом курсе. Ответ нужно было принести на следующий день. Я справился только с этой одной за шесть часов. Мой друг вундеркинд – за час, но допустил ошибку, попутав плюс и минус.

(14). Через разложение sin и tg в ряд Тейлора (до x^7) вполне можно решить задачу.

(15) Вручную практически нереально. Не верите, попробуйте!

(14) Нормально. Но тк у нас подобное было 20 лет назад - даже не буду пытаться хотя бы частично повторить сейчас.

(17) Речь идет только о формулировке дополнительной (к правилу Лопиталя) идее, которая позволит вычислить седьмую производную числителя за обозримое время (максимум, несколько часов).

(14) все верно. но для вычисления придела не нужны старшие степени - порядок малости определяет первая степень. Поэтому у меня такое упрощенное вычисление.

больно просто

(19) Вы настаиваете на своем неверном решении (что предел равен бесконечности)? Возьмите Maple и проверьте, надеюсь эта программа вас убедит.

(21) соглашусь с вами. Не учел что в числителе разность.Она могла "убить" первые степени малости. и даже вторые , третьи и тд. Короче, нет уверенности что там  первая степень остается.  Проверять не хочу...

ощущение, что будет 0.

sin и  tg стремяться к 0 одинаково.

Матан был давно, вспоминать все нюансы лень.

(23) Нет, не ноль. Ответом будет конечное рациональное число.

7/30 получилось.

(25). Неверно. Просто ответ может быть получен автоматизированными методами (программами делающих символьные вычисления). Это хорошо только для контроля. Мы ведем речь, об элементарной (в буквальном смысле) сообразительности, как правильно вычислять вручную семь производных числителя.

(24) -55/1008 - 107/5040 = -1/30

(27)это ответ

(27) Теплее, очень близко, но пока еще не верно. См. (26).

(27) стоп...косяк

Да, была у меня ошибка. Тоже (-1/30) получилось.

(30) 1/30 = 275/5040 - 107/5040. Это ответ

(22) в разложении в ряд только на 7 степени пошло различие в коэфф.

Точный ответ скажу позже, а пока, тот же вопрос, как правильно вычислить вручную семь производных числителя за обозримое время (не более нескольких часов)?

(34) тут это точно не должно требоваться. решение должно получаться рассуждениями с выводами  и расчетом одной, двух производных

спасибо. теперь за работу)

(34) возможно существует рекурсивная функция , которая дает сразу производную нужного порядка

(35) Спорное утверждение. Наш преп говорил, если вам для решения задачи нужно проделать 100 страниц выкладок, то это не должно вас останавливать. Да и в программировании редко когда бывают олимпиадные задачи, которые решаются за 15 минут путем нетривиальной идеи. Чаще нужно пахать многие и многие часы над достижением практически важной (как правило, технически сложной) задачи. Здесь же дополнительная идея относительно простая, уровня продвинутого школьника.

(37) Нет, рекурсия здесь не работает, только прием облегчающий стандартные вычисления.

-1/30

Да, уточнил, сейчас по Maple, действительно ответ: -1/30. В памяти у меня отложилось -1/31. Но за послестуденческие годы, вполне мог подзабыть.

Что касается дополнительной идеи, облегчающей вычисления, то она простая, как семь копеек. При вычислении производных мы упрощаем выражение для производной tg(x):

(tg(u))’ = (1 + tg(u)^2)*u’ = u’/(cos(x)^2)

Тогда при высоких производных биномиальные суммы заменяться дробями, производные которых будут несколько проще, при ручном вычислении это дает существенные преимущества.

(41) Чёрт! Прошлые знания надо проверять! Сморозил глупость, сказал с точностью до наоборот. Уточняю. Если вы представляете производную tg(u) как

(tg(u))’ = (1 + tg(u)^2)*u’

то вы сразу выиграли, в итоге вы получите порядка сотни аддитивных членов, с которыми вполне можно справиться за несколько часов. А если вы пишете

(tg(u))’ = u’/(cos(x)^2)

то вы попали, в конечном счете, вас ждут монструозные дроби, через которые пробраться практически нереально. В таблице производных для студентов первого курса, дается именно последнее выражение, поэтому цель перейти от него к предыдущему, в этом и есть искомая сообразительность.

В общем, освежили знания, подняли более новую версию Maple, с помощью которого можно даже писать стати по математике, например, что общего между математикой и программированием (есть такая тема на wasm.ru под моим другим ником Scholium) :) .

(42). Через ряд Тейлора посчитал за 30 минут, без всяких производных.

(43) Очень хорошо! Смотрим,

sin(x) = x – x^3/6 + x^5/120 – x^7/5040 + O(x^9)

tg(x) = x + x^3/3 + 2*x^5/15 + 17*x^7/315 + O(x^9)

Теперь нужно подставить одно в другое и вручную вычислить разность с нужной точностью. Кажется, что полчаса для этого маловато (особенно, если получать эти разложения не из справочника, а вычислять непосредственно). Хотя, если вы не шутите, то обошли моего вундеркинда, который ныне является профессором математики :) . Он решил эту задачу за час, но с арифметической ошибкой.

(44). sin(x) - известное разложение. Для tg(x) коэффициенты ряда легко находятся из формулы (tg x)'=1+tg^2(x). Подставить и посчитать все коэффициенты до x^7 - да, нужно это делать аккуратно, но ничего особо выдающегося в этом нет. Хотя у меня была в начале ошибка в вычислениях. Но это, на мой взгляд, оптимальнее, чем считать производные.

(45) Ну, вот, будем считать, что мозги мы с утра размяли, можно уже перейти и к программистским задачам :) . А так неплохо. Решение по методу Лопиталя более очевидное, хотя разложение в ряд Тейлора тоже достаточно стандартное. Если мозги работают без ошибок, то может быть и более эффективное для ручного счета. В любом случае, вас можно похвалить!

Если кому-то хочется еще какой-нибудь математической экзотики, то вот другая задача на уравнение Шредингера из квантовой механики. Не пугайтесь, формул в формулировке не будет. Просто текст :) .

Как известно, основное уравнение квантовой механики не имеет решения в общем виде. Но мы сейчас его решим (либо сделаем физическое открытие) в два хлопка, в неявном виде. Ваша задача обнаружить ошибку в рассуждениях. Знания квантовой механики при этом не предполагается.

Если вы посмотрите на уравнение Шредингера, то увидите, что в него входит постоянная Планка h, причем дважды, в первой и во второй степени. Т.е. относительно h это типичное квадратное уравнение из пятого класса. Если предположить, что искомая волновая функция пси нам известна (для математики это типичное предположение), то решая это квадратное уравнение, получим для h два возможных значения. Однако физике ничего не известно про второе значение постоянной Планка. Если оно существует, то мы делаем физическое открытие :) . А если не существует, то эти два значения должны совпадать. Как мы знаем корни квадратного уравнения совпадают, когда дискриминант равен нулю. В этом случае искомое уравнение Шредингера распадается на два независимых уравнения. Из двух уравнений вместо одного легко получить явное общее решение квантового уравнения. Мы этого делать не будем, просто согласитесь, что два уравнения вместо одного, это тоже, как минимум, физическое открытие.

Однако это, скорее всего, неверные рассуждения. Когда я студентом подошел с этим вопросом к нашему семинаристу по физике (который нас, простых студентов, мучал трехмерными интегралами Остроградского – Гаусса и прочими заумными формулами и хвастался тем, что он ученик самого Капицы, того самого умного), то он сказал, что разбираться с этим вопросом не хочет, мол там должна быть ошибка и искать ее я должен сам. Кстати, мгновенное решение ее дал мой вундеркинд, о котором речь шла выше. Наверное, неспроста я его сегодня несколько раз упомянул.

Но раз решение простое, то и ошибка должна быть простая. Вот народу, которому эта тема еще не надоела, могут попытаться высказать свое мнение.

(1) 4 переменных, 4 уравнения. Сложности быть не должно.

(0) вчера друзья прикололи, за 4 минуты решил. они все угадывали, но что то пошло не так, и не вышло)

(47) там 3 уравнения

(49) Сколько знаков "=", столько и уравнений. Там 4 уравнения.

(46). Видимо, второй корень будет отрицательным, что лишено физического смысла.

(46) Бред какой-то:
Дано 3х = 8   =>   9 - 3х + 1 = 0
Решим относительно 3 квадратное уравнение, получим 2 корня для х. Т.к. корень один, дискриминант должен быть равен нулю, т.е. х*x - 4 = 0  => x = +-2

точнее 9 - 3х - 1 = 0, но суть не меняется

(52), (53) Кто сказал, что в таком уравнении один дискриминант? Почему решений должно быть одно, а не 10?
К сведению, уравнение X^9-1 = 0 имеет девять решений и в то же время имеет одно решение.
Точно так и твое уравнение, записанное относительно 3 имеет Два! решения, естественно при любом решении х=8/3.
Кстати решение уровнения отностительно 3 будет либо 3 либо (-1/3).
При первом значении получим исходное уравнение, при втором
1/9+1/3х-1=0 , откуда х=8/3, ч.т.д.

(46)Один корень положительный, второй - отрицательный. Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий физического смысла.