Приветствую вас, товарищи, дамы и господа!
И с днём пионерии всех причастных!

Сыну попалась задачка олимпиадная. Он не смог решить за время. Я тоже с наскоку не смог, но потом осилил.
Точную формулировку не помню. Пишу по памяти

На столе 14 монет номиналом 2 и 5 руб (количество монет каждого номинала ненулевое). Одни решкой верх, другие орлом вверх.
Если сложить номиналы всех решек, получится некая сумма.
Далее, если все монеты перевернуть, то сумма станет в три раза больше.
Сколько каких монет?

эээ, а как номинал меняется при перевороте?

а, дошло ))

(0) А за какое время надо было решить?

Попробовал через систему уравнений - как-то слишком много переменных, не получается.

(0) Как минимум 3 способа решения. Какой способ на олимпиаде считается верным?

x+y = 14

2x+5y=z
2(14-x) + 5(14-y)=3z

или
x+y = 14
2x+5y = z
2y + 5x= 3z

Вот только Z получается 49/2 :-(

х-двойки, y- пятерки
у меня получились
(6х,8y)
2*4+5*1=13
2*2+5*7=39

(10x,4y)
2*0+5*2=10
2*10+5*2=30

(6) 2x+5y=z
2(14-x) + 5(14-y)=3z

Фиг там. Не все ведь решкой вверх лежат. А сколько их решкой вверх лежит - неизвестно.

Я решил эту задачу при помощи ChatGPT. Надо идти в ногу со временем, господа.
И так...

Отсюда видно, что y должно быть равно 0. Однако, условие говорит нам, что количество монет каждого номинала ненулевое. Таким образом, система уравнений не имеет решений.
Таким образом, нет никаких монет на столе, удовлетворяющих условию.

Шах и мат!

(9) Значит, восстание ИИ откладывается, раз не смог даже перебором решить задачу.

(7) у меня такие же ответы

(11) но вот хз считается ли это решение.
пришел к
z=7+3/4y
2z=35-3/2x
учитывая что z - целое, то y кратно 4, x кратно 2.
а дальше там 3 пары (2,12)(6,8)(10,4)
а среди них перебор

(7) Из симметрии ясно, что есть и случаи с пятью монетами в решке.

Всего сумма = n1*2 + n2*5 = 4*Sреш
n1 + n2 = 14

4*Sреш = 28 + n2*3 = (40,52,64)
или
Sреш = (10,13,16)
1. а) два пятака
б) пять двушек

2. четыре двушки и пятак

3. три двушки и два пятака

(12) (14) 2-12 решение не подходит. Потому что нельзя собрать сумму 16 когда у тебя только две монеты в 2р

(15) угу, поэтому в из 3х остались только 2 решения указанные в (7)

(3) там было 40 минут на 8 задач

Две по 5 и две по 2, ответ следует из условия наличия каждого номинала хотябы в ед числе

(18) вы неправильно поняли условие задачи

(14) 64 никак не разбросать на 16 и 48, получается два решения - с суммами всех монет 40 и 52 (количество по номиналам несложно вычислить)

(16) про третье забыли: два пятака (и тогда в орле тоже два пятака и десять двушек)

(21) почему забыл? "2 решениЯ".

хотяя, если "Сколько каких монет?" понимать, не только количество двушек и пятоков, но и варианты их расположения, то возможно
ибо (10,4) можно считать как 5 двушек решек и 0 пятоков решек,  так и 2 пятака решки и 0 двушек решек.

но я этот вопрос понимал в целом сколько двушек и пятоков. и оба эти варианта для меня сливались в один вариант.

Короче, ответ: 10 двушек и 4 пятака, 6 двушек и 8 пятаков

Есть ли решение через уравнения, а не подбором?

(24) Тут подбором оптимально, сразу понятно что сумма всех монет кратна 4, при этом изменяется в пределах от 31 до 67 с шагом 3. Получаем всего три варианта, остается проверить каждый на возможность разбить сумму в соотношении 3 к 1.

(24) Исключено. Уравнений всего два, а неизвестных 4: всего двушек, всего пятаков, двушек в решке, пятаков в решке.

(24) ощущение что нет.
ибо
1*x  + 1*y = 14
2*x  + 5*y = 4*z
2*x1 + 5*y1 = z
2*(x-x1) + 5*(y-y1) = 3z

4 уравнения и 5 неизвестных

(25) Перебором - оптимально, но не научно))

(28) Научно. Если доказано, что перебор ПОЛНЫЙ.

Недавно наткнулся на тестовую задачку какой-то крупной западной IT-компании. Только не подглядывайте решение в инете )
Есть 25 лошадей и ипподром, круг которого принимает только забеги в 5 лошадей за раз. Сколько минимум забегов надо провести для однозначного определения по скорости точно 1-й, 2-й и 3-й лошади? )
Почти полчаса решал... Не возьмут меня в Микрософт )

(30) Тут надо уточнить, что лошади от забега к забегу скорости не меняют, при этом секундомер мы не используем, фиксируем только порядок - кто за кем пришел.

14*2 = 28 это минимальная сумма
14*5 = 70 это максимальная сумма

из чего следует
лежит 5 * 2 орешками = 10 руб. (5 монет)
и 5*2 орлами и 4* 5  = 30 руб. (9 монет)
других вариантов нет

(30) вроде 8

(30) 6?
5 заездов - где все разные лошади.
а потом 6ой заезд из победителей

(34) а нет. не верно. так только 1ое место узнаем

(34) А если 2-я или 3-я были в забеге одного из победителей?
(33) нет

У меня получилось два варианта
4 монеты по 5, 10 монет по 2 (номинал до переворачивания 10, после переворачивания 30)
8 монет по 5, 6 монет по 2 (номинал до переворачивания 13, после переворачивания 39)

(30) 8.

(30) 5. Просто используйте секундомер.

(38) нет

(40) а нет за 7 можно

(39) нет секундомера... Древняя Греция )

(41) +1

*(43) двусмысленно получилось) Исправляюсь)
Согласен, можно за 7

(41) (43) Быстро вы решили... а я дольше (

(45) 5 забегов определяем лидеров
Потом забег победителей, определяем ранг предыдущих заездов получем 1 место.
Потом забег 2, 3 из первого ранга, 1, 2 из второго ранга, 1 из третьего ранга.

(46) дык не 9 заездов разве?

(47) 7

5 забегов (первые забеги)
6-ой забег победителей из первых забегов и определение 1 места. Получаем ранг предыдущих забегов.
7-ой забег определит 2,3 место.  Бегут 2,3 из 1 ранга, 1,2 из второго и 1 из третьего

(0) Решается полным перебором. Ответ:

6 двушек 8 пятаков: решек 4 и 1 соответственно.
10 двушек 4 пятака: решек 0 и 2, или 5 и 0, соответственно.

По количеству монет 2 варианта, но по количеству решек 3 варианта.

Вот программа на JS в одну строку. Разбил на три строки чтобы было удобнее. На сколько строк у вас получится на 1С или ПХП?

Array.from({length: 13}, (_, i2) => Array.from({length: i2 + 2}, (_, r2) => Array.from({length: 14 - i2}, (_, r5) => ({
     count2: i2 + 1, count5: 13 - i2, r2, r5
})))).flat().flat().filter(_ => _.r2 * 8 + _.count2 * 3 + _.r5 * 20 === 70)


Ответ выдает типа такого: count2: 6, count5: 8, r2: 4, r5: 1, где count2 и count5 - это количество двушек и пятаков, а r2 и r5 - количество решек двушек и пятаков.
Понять формулу не пытайтесь, я ее математически преобразовал.

Максимальная сумма 13*5+3=67  - не подходит не делится на 4
12*5+2*2= 64 возможно.
Сумма в 4 раза меньше - 16 (2 монеты по 5, три по 2 - не подходит ( по 2 монет всего 2)

11*5 +2*3 не подходит
10*5 +2*4 = 58 не подходит ( не делиться на 4)
9*5+ 2*5 - не подходит (не делиться на 4)
(8*5 + 2*6)/4 = 13 - подходит монета 5 и 4 по 2 рубля.
7*5+2*7 - не подходит
6*5+2*8 - не подходит
5*5+2*9 - не подходит
4*5+2*10- не подходит
3*5+2*11 - не подходит
2*5+2*12 - не подходит
1*5 + 2*12  - не подходит.

Одно решениние 8 по пять руб, 6 по 2 руб.

(51) 4*5+2*10 - подходит, там даже два разных варианта по решкам. См ответ выше.

(51) надо на 3 делить, не на 4. перепутал.

(50) тоже мне бином Ньютона )
Выразили n5 через 14-n2 и учли, что S = 5*n5 + 2*n2 = 4*(р5 + р2) = 70 - 3*n2
После чего пустили перебор. Только ведь Ваша процедура нашла ОДНО решение и остановилась. А надо ведь найти и второе решение:
_.r2 * 8 + _.count2 * 3 + _.r5 * 20 === 70
а именно:
count2: 10, count5: 4, r2: 0, r5: 2

поправка:
S = 5*n5 + 2*n2 = 4*(5*р5 + 2*р2) = 70 - 3*n2

(54) Все три решения нашла. Смотри внимательнее, я писал ответ в (49)

Ну и это не процедура, а функция. Я не пишу процедуры в принципе, так же как и условия и прерывания циклов. Код должен быть максимально чистым, без ветвлений.

https://telegra.ph/Monety-i-ih-summa-05-19

(58) Неплохо, неплохо... Хоть решение и вообще неправильное, но подгон под ответ интересный.

(58) Ошибка здесь:
[Таким образом, у нас есть два уравнения:
2x = S       (уравнение 1)
5y = 3S      (уравнение 2)]

На самом деле есть только одно уравнение:
2x + 5y = 4S

(59) потом сравни с решением модели 4.0

Она по идее правильно должна решить.

У нас 4 неизвестных.
Xo+Xr+Yo+Yr=14
Xo+Xr>0
Yo+Yr>0
2Xo+5Yo=3*(2Xr+5Yr)
Все значения неотрицательные.

Так как у нас неравенства,то они определяют области.
Соответственно,выполняем перебор.
У нас 13 вариантов распределения монет
В каждом варианте дополнительно нужно рассмотреть распределение орлов и решек для каждого типа монет.

Цикл i=1 по 13
Цикл j=0 по i
  Цикл k=0 по 14-i
   Xo=j
   Xr=i-j
   Yo=k
   Yr=14-i-k
   Если 2*Xo+5*Yo=6*Xr+15*Yr Тогда
    Сообщить("2:орел:"+Строка(Xo)+",решка:"+Строка(Xr)+",5:орел:"+Строка(Yo)+",решка:"+Строка(Yr)
   КонецЕсли
  КонецЦикла
КонецЦикла
КонецЦикла

(61) GPT 4 тоже не фонтан в такой задаче. Выдал одно решение, хотя я запросил выдать все решения методом перебора. Может ограничение у него какое-то на количество итераций.

https://i.ibb.co/bNVXXkG/image.png

Коллеги, предлагаю следующее решение без всякого подбора.
S - сумма денег в решке. Всего денег 4*S
N2 - количество двушек (их и надо найти), N5 - количество пятаков = 14 - N2

2*N2 + 5*N5 = 4*S ......... (1)
Видно, что N5 как минимум чётное. Но тогда и N2 тоже должно быть чётным, ведь
N2 + N5 = 14 .............. (2)
Но отсюда, возвращаясь к (1) получаем, что 2*N2 делится на 4 и для равенства строго необходимо, чтобы N5 делилось на те же 4.

Вывод: количество пятаков делится на 4

Нашли сразу только три корня N5 = (4,8,12) и соответственно N2 = (10,6,2)
Третий корень отметаем, т.к. для него сумма денег в решке равна 16 и её никак не набрать пятаками с ноль-одной-двумя двушками.

Ответ: N5 = (4,8) и N2 = (10,6)

(0) Уравнения для этой задачи легко получить.Однако неизвестных больше, чем количество уравнений.Методом невязок нашёл что минимальных промах при количестве орешек пяти рублей 7.Дальше уже проще, ещё две пробы и результат:2р -6 штук, 5р -8 штук.
Монеты по 2₽ -4 решки, 2 орешки.
Монеты по 5₽ -1 решка, 7 орешек.

(63) Отличное решение! Проверил, выдает правильный ответ?