Наткнулся вот на такую интересную задачу. Не сильно сложную для понимания, но сложную для решения.

Есть непрерывный линейный отрезок, источник когерентных волн, для наглядности: светящаяся лента определенной длины. Амплитуда и фаза колебаний от этого источника в заданной точке пространства определена функциями, тоже непрерывными, зависящими от х - координаты точки на этом линейном источнике. Нужно найти амплитуду колебаний в заданной точке пространства.

Амплитуда в зависимости от x:
А = F1(x)dx, где F1 - любая функция, например, синус: sin(x). Что такое dx сами понимаете.
Фаза в зависимости от x:
Ф = F2(x)dx, где F2 - другая функция, например, возведение в квадрат: x * x

Легко было бы посчитать на компьютере, по формуле сложения двух волн, если разбить отрезок на большое количество точечных источников, и циклом по ним пробежаться. Но это было бы слишком легко.

Задача в том, чтобы вывести формулу, и посчитать без всяких циклов.

Формулы для двух волн можно посмотреть в интернете, хоть тут:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Интерференция_волн

а где время?
колебание, волна - функция времени.
а тут фаза и амплитуда в зависимости от координаты отрезка.
ну отлично. а от времени что?
если времени нет, значит при любой частоте картина не меняется, а это значит что точка наблюдения - равноудалена от концов отрезка.
а раз так значит волны будут при любой частоте складываться.
Значит делаем замену переменной типа у
и складываем две функции в каждой точке
Ф1(у)*Ф2(у)+Ф1(Х-у)*Ф2(Х-у) от нуля до Х/2
готово.

(0) циклы не предлагать? Вы опять за своё?

(0) Олимпиадная - это когда идею нужно поднять, а то что ты описал "разбить отрезок.." это "формула" интеграла.
Ну и по постановке: знать распределение амплитуд F1(x) недостаточно, т.к. при сложении нужно учитывать фазу. Две синхронные волны сложатся в двойную амплитуду, а при сложении их в противофазе получишь нулевую амплитуду (отсутствие колебакний)

(3) в этом и смысл олимпиадных задач. если в условии нет чего-то необходимого, значит решение не зависит от этого параметра. а это само по себе налагает ограничения на условия.
не зависящая от доп условий точка - равноудаленная от концов отрезка чтобы волны приходили синфазно при любой частоте. дальше уже детали, основная мысль олимпиадной задачи - догадаться до этого.

https://www.youtube.com/watch?v=R9d0KelayMc

судя по комментариям (2), (4) вроде как шарит

(5) дык я олимпиадник бывший) на Всероссийскую ездил соревноваться в свое время)

(3) "источник когерентных волн"©

(4) А зачем ещё условие равноудалённости, если свет и так когерентен, т.е. картина стационарна?
Даже если при равноудалённости обнулите в косинусе разности фаз вторые члены k*r, то останутся же третьи члены начальных фаз (они от точки на отрезке зависят).

(7) да всё правильно, (3) снимается. Вводную до формул пропустил)

(4) Неправильно. Точка не равноудаленная, точка произвольная.
Вообще, это задача "построения диаграммы направленности антенны". (либо штыря, либо щелевой прямой щелью. Что, в принципе, одно и то же). Не знаю, как насчет олимпиадности, но 3 курс, АиУСВЧ.

(10) В задаче предлагается решить аналитически, т.е. формульно, но я сходу вижу только интегральное уравнение. Может как-то олимпиадники и могут его решить на кончике пера без численного программирования, тогда интересно послушать решение )

(10) и как же вы для произвольной точки обеспечите независимость амплитуды и фазы от частоты, а только от координаты отрезка Х
очень любопытно.

простой пример. берем точку прямо на конце отрезка.
тогда при длине волны равной отрезку в точке будет светло
а при половине длины волны - темно.
и какая интересно функция у вас может описать такое поведение, когда у нас НЕТ частоты в условиях, а амплитуда и частота зависят от координаты по отрезку только.

амплитуда и фаза конечно же.

точнее при половине и четверти и не совсем темно светло зависит от функций Ф1 и Ф2
но не суть - значения будут разные. а у нас нет зависимости от длины волны.

Для решения данной задачи без циклов и разбиения на точечные источники, вы можете использовать интегралы и принцип суперпозиции. Амплитуда в заданной точке может быть найдена следующим образом:

1. Выразите амплитуду и фазу в виде интегралов по всей длине источника:
   А = ∫[a, b] F1(x) dx
   Ф = ∫[a, b] F2(x) dx

2. Используйте принцип суперпозиции, согласно которому амплитуды колебаний складываются:
   A_total = ∫[a, b] F1(x) dx * cos(Ф)

Здесь A_total - итоговая амплитуда колебаний в заданной точке.

3. Если функции F1(x) и F2(x) известны, вы можете выразить А и Ф в явном виде и подставить их в формулу для A_total.

4. Проинтегрируйте функцию F1(x) и функцию F2(x) от a до b, используя антипроизводные (примените основные интегральные формулы).

5. Подставьте интегралы в формулу для A_total и вычислите её.

Это позволит вам найти амплитуду колебаний в заданной точке пространства, используя интегралы и принцип суперпозиции, без необходимости в циклах.

(11) да, двойной интеграл.
(13) а кто сказал, что амплитуда и фаза независимы? по условиям, излучение когерентное. Т.е. одна частота.  закон распределения амплитуд излучателя задан. закон изменения фазы излучателя задан.

(16) длину волны забыл.

как решать с точки зрения студента-радиотехника 3 (хотя могу и ошибаться - может, 4-го, но это не принципиально - это математика инженеров 2 курса, не спецглавы) курса - известно.
А вот с точки зрения олимпиадника - непонятно. олимпиада какого уровня? школа, вуз?

(19) да школьная явно, и я написал единственный с моей точки зрения вариант когда эта задача может быть олимпиадной.
все кто пытается притянуть сюда корректный расчет для излучающей антенны - вспомните что эта задача решается не на первых курсах ВУЗов причем далеко не всех.
и общего решения формульного - не существует, есть приближенные методы расчета исходя из конкретики - материалов, диапазонов длин волн и так далее..
вы пытаетесь сложную инженерную задачу пропихнуть под видом олимпиадной, это так не работает.
не надо на собеседование джуну пихать задачу оптимизации кластерных индексов какой-нибудь вашей высоконагруженной базы, которую вы сами уже пару лет не можете решить.

Коллеги, я тут подумал... Наш "американец" тут всегда показывал некоторую небрежность. Сдаётся мне, что можно рассмотреть возможность аналитического решения, если ограничить класс функций F(x) чётными или нечётными, взяв середину светящегося отрезка за 0. Просто в (0) как раз в качестве примера приводится нечётная sin(x) или чётная x^2.

Согласитесь, что если начальная фаза отрезка чётная функция, то любые две dx симметрично центра будут в одной фазе и всегда cos(Ф) = 1

(1) Зачем тебе время? Чтобы рассчитать фазу? Так она известна, дана функция. По этой функции можно посчитать разность фаз между любыми точками источника волн. Разность фаз не зависит от времени, потому что по условию источники волн когерентные.

Ты сложил без учета фаз, так неправильно.

Точка наблюдения не равноудалена от концов отрезка. Она произвольная.

(6) Коллега!

(16) В правильном направлении думаешь. Но вообще не так. Интеграл амплитуды зависит от фазы. А интеграл фазы зависит от амплитуды. Как составишь их? Можно сразу подставить функции из условия задачи.

для произвольной точки произвольные функции и без указания длины волны сдаюсь, я тогда не вижу доп ограничений, а для общего решения данных явно недостаточно.

(25) Да просто возьми любую длину волны, если тебе она так нужна. Пусть будет 38. Когда решишь задачу, поймешь что в итоговой формуле она отсутствует.

(26) я привел пример.
если функция фазы условно константа единица.
а функция амплитуды условно равна единице в двух концах отрезка и ноль во всех остальных точках.
они же произвольные?
точку наблюдения выбираем на одном из концов.
она же произвольная?
а дальше двигаем длину волны
при длине волны равно отрезку будет светло
при длине волны в полотрезка будет темно.
и как это описать функцией
и как это согласуется с твоими словами что решение не зависит?

(27) Нет, они не произвольные. Ты не можешь сам их подбирать чтобы упростить задачу.
Точка не произвольная. Она задана.

(27) Даже упростив задачу ниже условий, ты все равно неправильно ее решил. Уверен что ты был олимпиадником?

Ты не можешь двигать длину волны, тем более взять ее равной длине отрезка, потому что в этом случае нарушится заданная тобой же функция фазы. Ты сам задал ее равной единице. А по твоим условиям она будет меняться от разных точек отрезка, и не везде равна единице. Противоречие.

Давайте подумаем. На олимпиаде надо тратить примерно полчаса на задачу. Известно, что даже для равномерно светящегося отрезка с нулевой начальной фазой крайне нудно выводится уравнение для минимумов на экране, не говоря уж об амплитуде в любой точке. Следовательно, хайли лайкли, за полчаса можно только доказать, что интерференции нет и амплитуда равномерна A/r )

(30) С нулевой начальной фазой тупо складываем амплитуды по интегралу, без учета разности фаз, так как cos(0-0) = 1. Интеграл от константы равен общей свечению одной точки помноженной на длину отрезка. Дольше писать, чем придумывать решение. Это сильно упрощенный частный случай. То же самое, что предложил Bigbro, только чуть более правильно, потому что у него светились две точки, а у тебя светится весь отрезок.
Но нужно решить в общем случае, или хотя бы в частном случае из примера в (0).

И он еще длину волны туда пытался приплести, зачем-то.

(30) Выводить уравнение для минимумов на экране не нужно, это за пределами задачи. Нужно вывести только значение в одной точке.

(31) Здрасьте! С чего это косинус равен нулю, если там в слагаемых разность оптического хода:
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5216dd5baea2a27e7b250e86f1a63a42214943
которая и даёт интерференционную картину в зависимости от длины волны.

(33) дык... если минимумы почти невозможно найти, то что говорить тогда о промежуточной точке.

(34) С того что это косинус разности фаз. Разность фаз равна нулю, косинус равен единице. Не?

(35) Промежуточную точку я тебе нашел довольно быстро. См 31. Амплитуда(константа) * длина отрезка.

(36) С какого бодуна разность фаз в произвольной точке равна нулю?

(38) Ты так написал.

в 30 >> нулевой начальной фазой

(39) Вы слово начальное видите?
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd845bbeed1c87a8380d49d80af1b27ec53cffeb

Отрезок когерентный, первого члена нет. Пусть слишком сильное условие нулевой начальной фазы (нет третьего члена). Но второй-то член куда дели??

(41) Давай подумаем. Если начальная фаза равна нулю, то в любой момент времени t фаза будет равна частоте помноженной на время. Время для всех точек - константа. Частота тоже константа (когерентность!), значит все фазы равны. Разность фаз равна нулю. Косинус нуля сам догадаешься чему равен.

(42) Ну и чему равен второй член?

(43) Вы в курсе, что ещё в XIX веке наблюдали за щелью интерференционные полосы на экране? А это и есть когерентный отрезок света с нулевыми начальными фазами в каждой точке отрезка. И тут пришёл Грю )

(45) Не отклоняйся от темы. Ты понял свою ошибку или нет?

(46) До свиданья

(47) Давай, пока :)))

Двое слились. Одна надежда на Хранимую Процедуру, он вроде уловил суть.

Ну что, сдаетесь? Сказать ответ?

(49)

Прошу прощения за путаницу. Давайте попробуем другой подход:

1. Запишите амплитуду A и фазу Φ в виде интегралов, как было дано:
   A = ∫[a, b] F1(x) dx
   Φ = ∫[a, b] F2(x) dx

2. Используйте формулу Эйлера для комплексных чисел: exp(iΦ) = cos(Φ) + i * sin(Φ).

3. Выразите амплитуду A и фазу Φ в комплексной форме:
   A = ∫[a, b] F1(x) dx
   exp(iΦ) = ∫[a, b] exp(iF2(x)) dx

4. Используя принцип суперпозиции для комплексных амплитуд, выразите амплитуду в заданной точке:
   A_total = A * exp(iΦ)

5. Проинтегрируйте функции F1(x) и exp(iF2(x)) от a до b.

6. Вычислите A_total, учитывая результаты интегрирования и комплексную форму aмплитуды.

Этот метод позволит вам найти амплитуду колебаний в заданной точке пространства, используя комплексные числа и интегралы, как было предложено в условии задачи.

(51) Все верно! Можно в комплексных числах, можно в переходе с полярных координат к декартовым складывать вектора.
Все очень просто. Так интеграл берется легко.

Хоть один одинесник понял условие и смог найти решение. Приз уходит к Хранимая Процедура!

(52) я вообще то уже давно не 1Сник, а Java программист.

Да и 1Сником был формально только 2 с половиной месяца.

(53) Оно и видно.

А Bigbro разочаровал. Он мне когда-то посоветовал хороший роутер Тенда, моей благодарности нет предела, а сегодня что-то глупое писал.

(54) классно ты прошелся по всем одинэсникам.

ну ок.
использовали формулы, проинтегрировали.
в чем олимпиадность?

(57) В том что не каждый может догадаться как решить.

Формул не так уж и много, всего лишь интеграл и A * sin(Ф), А * cos(Ф)
А решить смогли только двое. Я и ХП.

(57)  вот и выросло поколение, никогда не ходившее на олимпиады

Бедная, бедная математика, как основа аппарата физики. Наш олимпиадник сейчас вывел СВОЮ следующую формулу сложения двух комплексных чисел:
A1 * exp(iφ1) + A2 * exp(iφ2) = (A1+A2) * exp(i(φ1+ φ2)) ……. (формула Грю)

А несколько веков весь мир, оказывается, ошибочно складывал так:
A1 * exp(iφ1) + A2 * exp(iφ2) = A * exp(iφ) ………….. (1)

A1 * (cos(φ1) + i*sin(φ1)) + A2 * (cos(φ2) + i*sin(φ2)) = A * (cos(φ) + i*sin(φ))
Или, расписывая по отдельности действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
A * cos(φ) = A1 * cos(φ1) + A2 * cos(φ2)
A * sin(φ) = A1 * sin(φ1) + A2 * sin(φ2)

Возводим в квадрат:
A^2 * cos^2(φ) = A1^2 * cos^2(φ1) + 2*A1*A2* cos(φ1)* cos(φ2) + A2^2 * cos^2(φ2)
A^2 * sin^2(φ) = A1^2 * sin^2(φ1) + 2*A1*A2* sin(φ1)* sin(φ2) + A2^2 * sin^2(φ2)
Складываем:
A^2 = A1^2 + A2^2 + 2*A1*A2* cos(φ1- φ2) …………….. (2)
Это и есть известная формула для результирующей амплитуды двух волн при их суперпозиции. Как видим – чистая математика сложения двух комплексных величин. Согласитесь, что математика даёт красивую физику. Разность фаз приводит к интерференционной картине, когда кратно π чередуются максимумы и минимумы амплитуды.
Сравните с формулой сложения волн из википедии, ссылку на которую нам любезно предоставил Грю:
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27728a2f9904c832995b48053d477d884d39539

Но это всё неважно, ведь у Грю своя математика, своя великая формула сложения комплексных величин. Не откажу себе в удовольствии снова и снова её воспроизвести:
A1 * exp(iφ1) + A2 * exp(iφ2) = (A1+A2) * exp(i(φ1+ φ2)) ……. (формула Грю)

Как она работает на практике? Да через интегрирование длинного источника волн. Сумму многих точечных источников можно заменить интегралом по длине отрезка, что мы и видим в решении (51). Позволю себе его процитировать:
1. Запишите амплитуду A и фазу Φ в виде интегралов, как было дано:
   A = ∫F1(x) dx
   Φ = ∫F2(x) dx

2. Используйте формулу Эйлера для комплексных чисел: exp(iΦ) = cos(Φ) + i * sin(Φ).

3. Выразите амплитуду A и фазу Φ в комплексной форме:
   A = ∫F1(x) dx
   exp(iΦ) = ∫exp(iF2(x)) dx

4. Используя принцип суперпозиции для комплексных амплитуд, выразите амплитуду в заданной точке:
   A_total = A * exp(iΦ)
================ конец цитаты

Коллеги, обратите внимание на:
A = ∫F1(x) dx
Это и есть независимое суммирование действительных частей комплексной величины, а именно:
A = ∫F1(x) dx = A1 + A2 + …
или суммирование амплитуд в любой точке пространства. Понравилось? Дальше ещё интереснее – суммирование фаз.

Из Φ = ∫F2(x) dx автор выводит exp(iΦ) = ∫exp(iF2(x)) dx
Здесь уже не суперГрю-сложение напрямую амплитуд, здесь интеграл лихо так перемещается из-под аргумента функции прямо перед ней. Это уже новое интегрирование, новый раздел математики, который можно с полным на то основанием именовать Математика Грю. А как же иначе, если постулируется, что:
exp(i*∫F2(x) dx) = ∫exp(iF2(x)) dx ………………. (вторая формула Грю)

Лучше на словах, чтоб и школьники потом заучили:
Е в степени интеграл равно интеграл от Е (нетленка от Грю)
Более наглядно показать на суммировании двух из многих источников:
exp(i(φ1+ φ2)) = exp(iφ1) + exp(iφ2)

О, сколько нам открытий чудных
Готовит величайший Грю…

Что вы пристали к 1с-погромистам?
что там в 1Сине в типовых самое сложное? решение СЛАУ? да и то, которое в платформу запихнули?
.
у за все свои годы возюкания с 1С самое сложно что родил - функцию для вычисления коэффициента снижения цены в зависимости от ОСГ, и самое сложное там было уже и не помню.. возведение в степень что ли...

мда..
я не против когда обгадившегося прилюдно носом туда тыкают..
но Геннадий, зачем же его туда целиком то, во весь рост..
потом палочкой оттуда выковыривать?

(63) Да... погорячился... прошу модератора удалить мой пост

(64) "Отказано." (с)

(62) я задачу коммивояжера решал и шифрование на эллиптических кривых. пару раз матрицы перемножал, но уже не помню для чего.

(61) Большего бреда я еще не видел. Гена оказывается еще и лжец, к тому же. Обиделся что ли? Не обижайся.

Практическое доказательство что Гена брехло:

Вот мой код, на котором я проверял правильность решения:
https://i.ibb.co/VWk8FhJ/image.png

Когда константа isFormulaGru false, то программа считает по формуле из википедии, результат такой выводит на экран:
https://i.ibb.co/v3JRSP2/image.png

Когда константа isFormulaGru true, то программа считает по формуле Грю, результат такой:
https://i.ibb.co/pzvqb7G/download.png

Найди семь отличий, как говорится.

Обосравшийся Bigbro решил поддакнуть обосравшемуся Гене, и утопил себя еще больше.

(66) ну, задачу комивояжера это когда точек/клиенто много, автопарк итд. когда устоявшиеся клиент sb накатанные маршруты - необходимости как-то не было дл ямелких клиентов.

Битва трех якадзун...

Одного якадзуна и двух лошков :)))

И что Вы открыли, олимпиадник Вы наш? Что для ЭВМ удобнее напрямую суммировать комплексные числа A*exp(i*φ)? Вы просто для машины написали по отдельности дейсвительную и мнимую части точечного сферического источника света:
xTotal у Вас действительная часть, а yTotal – мнимая, корень – модуль комплексного числа.
Повторю для Вас: это формула не Грю. До Вас её открыл Леонард Эйлер.

Понятно, что машине по одному предмету как складывать точечные сферические источники света: по ЭЙЛЕРУ или же по уже известной формуле интерференции. Результаты вычислений будут тождественны! А Вы радуетесь этому факту, аж две картинки здесь выложили. С таким же успехом можете выложить две картинки: для x^(-1) и для 1/x.

А вот реальная формула Грю – это нетленка, там, где Вы отдельно суммируете амплитуды и независимо фазы. Такое я увидел впервые в жизни, хотя видел я много. Был у нас один аспирант, так тот убрал одну из двух точек в своих расчётах над игреком. И у него дифур второго порядка мгновенно стал первого порядка. На мой после шока вопрос: «Зачем???» - последовал ответ: «А так проще».

Послушайте, ну нельзя же так, совесть есть? Что это Вы присвоили себе славную формулу Эйлера???
Я не программист и не шарю в С++, но логика алгоритмов универсальна.
У Вас идёт ветвление здесь:
Если формула Грю (я офигеваю, а Эйлер в гробу перевернулся) = правда Тогда
xTotal = xTotal + A*cos(φ)
yTotal = yTotal + A*sin(φ)
amTotal = amTotal + SQR(xTotal^2 + yTotal^2)
Иначе
[стандартные формулы интерференции]

И что Вы открыли, олимпиадник Вы наш? Что для ЭВМ удобнее напрямую суммировать комплексные числа A*exp(i*φ)? Вы просто для машины написали по отдельности дейсвительную и мнимую части точечного сферического источника света:
xTotal у Вас действительная часть, а yTotal – мнимая, корень – модуль комплексного числа.
Повторю для Вас: это формула не Грю. До Вас её открыл Леонард Эйлер.

Понятно, что машине по одному предмету как складывать точечные сферические источники света: по ЭЙЛЕРУ или же по уже известной формуле интерференции. Результаты вычислений будут тождественны! А Вы радуетесь этому факту, аж две картинки здесь выложили. С таким же успехом можете выложить две картинки: для x^(-1) и для 1/x.

А вот реальная формула Грю – это нетленка, там, где Вы отдельно суммируете амплитуды и независимо фазы. Такое я увидел впервые в жизни, хотя видел я много. Был у нас один аспирант, так тот убрал одну из двух точек в своих расчётах над игреком. И у него дифур второго порядка мгновенно стал первого порядка. На мой после шока вопрос: «Зачем???» - последовал ответ: «А так проще».

А картинка классная! В моё время таких не было. Не научите меня, бестолкового, какая программа так изумрудно рисует?

(72) Гена в прыжке переобулся :) Но бесполезно выкручиваться, тот бред что ты написал уже не вырубить топором, его все видели. Слово не воробей, вылетит не поймаешь.

(73) Рукалицо... Сам назвал эту формулу в честь меня, я тебе подыграл по-приколу, а теперь ты лжешь что это я ее присвоил. Запутался в показаниях, парень? Сам себя разоблачил, ахахахха :))))

>> Результаты вычислений будут тождественны!

Молодец что ты это понял наконец, и включил заднюю. А до этого доказывал что у меня якобы что-то неправильно. Забавно выкручиваешься.

(74) Это JavaScript в браузере. Программа называется Microsoft Edge.

[Легко было бы посчитать на компьютере, по формуле сложения двух волн, если разбить отрезок на большое количество точечных источников, и циклом по ним пробежаться. Но это было бы слишком легко.
Задача в том, чтобы вывести формулу, и посчитать без всяких циклов.]

Виноват, это Вы писали?

Формулу Вашу олимпиадную можно глянуть? Которая "без всяких циклов" вроде:
for (let b = 0; b < bulbs.length; b++)

?

(80) Найди интеграл этой функции, получишь мою формулу:

(cos(sqrt(x^2 + k x + c)))/sqrt(x^2 + k x + c)

(81) Вам же дали в условии функции распределения начальной амплитуда и начальной фазы светящегося отрезка F1 и F2. Будьте так любезны, порадуйте нас своей формулой.

Мы ждём с томленьем упованья
Картины формулы святой,
Как ждёт любовник молодой
Минуты верного свиданья.

(82) Я не пойму, что ты пытаешься изобразить? Уже поздно что-то исправить. Обосрался, так признай это как мужик. Или ты думаешь, что человек, неспособный решить такую задачу, может переспорить человека, который смог ее решить? Выглядишь как обиженная баба. Без обид.

не скатывайтесь в оскорбления, приводите аргументы.

Ап!

(86) [Ап!]
Это... антоним...

(87) А работает все равно как Ап :))) Позор не спрячешь.

Приятно началась пятница. Да простят меня модераторы за пятничный офф )

Чебурашка, друг Гены... А Гена в камере - как Монте-кристо - царапает на стене, снадеждой что послание дойдет...
.
Чтоб закруглить ветку, давайте выпишем решение задачи в интегральном виде.

Условие: есть протяжённый непрерывный светящийся отрезок (щель) с произвольным распределением одномерной плотности амплитуды точечных сферических когерентных (частота постоянна) источников света в виде функции

a(x) = F1(x) ……………..  (1)

и произвольным же распределением одномерной плотности их фаз в виде функции

φ0(x) = F2(x) ……………… (2)

Найти: функцию распределения амплитуды света A(r,x) в любой точке пространства. Понятно, почему амплитуда будет зависеть не только от расстояния до начала светящейся щели r, но и отдельно от его проекции на ось x – в силу размерности самой щели.



Решение.

https://i.ibb.co/L64LHWj/2023-08-11-08-41-41.png

В силу суперпозиции каждая волна

s = A/r’ * exp (i * (ωt – kr’ + φ0)) ………………. (3)

от точки щели ведёт себя независимо от волн от других точек, т.е. идёт простое сложение волн s(r’,x) в каждой точке пространства. k – волновое число, равное 2π/λ. В силу когерентности временной множитель exp (i * ωt) можно вынести за скобки и в дальнейшем не учитывать.

По условию непрерывности заменяем суммирование на интегрирование по всей длине щели:
S(r,x) = ∫A(x’)/r’ * exp (i*( – kr’ + φ0(x’))) dx’ ……………….. (4)

или, принимая во внимание (1) и (2):

S(r,x) = ∫F1(x’)/r’ * exp (i*( – kr’ + F2(x’))) dx’ ……………….. (5)



Из рисунка видно:
r^2 = x^2 + y^2 ………………………… (6)

r’^2 = (x – x’)^2 + y^2 ……………… (7)

Подставляя (7) в (5):


S(x,y) = ∫F1(x’)/SQR((x – x’)^2 + y^2)  * exp (i*( – k* SQR((x – x’)^2 + y^2) + F2(x’))) dx’ … (8)



Мы получили общую формулу для светящегося отрезка в виде интеграла. Понятно, что аналитически невозможно взять этот интеграл от двух общих функций. Но также понятно, что решение элементарно для машинного исчисления. Подставляй функции и получай красивые картинки интерференции.



Похоже, что наш юный друг самостоятельно вывел эту интегральную формулу, получив задание на очередном своём собеседовании по поиску высокооплачиваемой работы. Ему бы только набросать простейший код и сдать решение, но тут он захотел пойти дальше и убрать произвольные функции из-под знака интеграла:

А = ∫F1(x) dx
Ф = ∫F2(x) dx

На языке математики это действие означает нахождение средней величины функции на заданном отрезке. Но наш коллега почему-то решил, что это не есть приближение по среднему, а самое что ни на есть ТОЧНОЕ решение. Ну да ладно. Понятно, что средние – это константы и без потери общности постоянную среднюю фазу щели можно спокойно принять за 0. Уравнение (8) тогда превращается в известную формулу для постоянного светящегося отрезка:



S(x,y) = А*∫1/SQR((x – x’)^2 + y^2)  * exp (i*( – k* SQR((x – x’)^2 + y^2))) dx’ … (9)



Её получили лет 200 назад на заре волновой оптики и попробовали решить заменой переменной x’  на r’:

r’ = SQR((x – x’)^2 + y^2)

dr’ = -1/2SQR((x – x’)^2 + y^2) * 2(x - x’) dx‘

(x – x’) = +/- SQR(r’^2 – y^2)

Подставляя в (9):

S(x,y) = -/+ А*∫SQR(r’^2 - y^2)  * exp (i*( – k*r’)) dx’ … (10)



Или в действительной части интеграл вида

I = ∫SQR(x^2 - a^2)  * cos(bx) dx ………………… (11)



Наши предки не имели ЭВМ, поэтому попытались найти интеграл на бумаге. Но увы, несмотря на простой вид он нерешаем в известных функциях. Так бывает в математике, когда формула простая, а решить её никак не получается. Например:
∫sin(x)/x dx

Последний часто используется во многих задачах, поэтому договорились обозвать его специальной функций Si(x)  или интегральный синус.

Ну а щелевая интерференция нужна только узкому кругу физиков, поэтому интеграл (11) не удостоился выделения ему специальной функции и он остался в ожидании наступления эпохи программирования.



Теперь несколько слов в защиту Грю. Мне нравятся молодые, дерзкие программисты, которые искренне уверены, что сходу могут решить любую задачу: от теоремы Ферма до щелевой интерференции. А как же иначе, ведь раз формулы простые в написании, то и решение также должно быть простое. Не зря в своём посте (81) наш Грю заявил (цитата):

[Найди интеграл этой функции, получишь мою формулу:
(cos(sqrt(x^2 + k x + c)))/sqrt(x^2 + k x + c)]


Как там у Фигейредо?

- Ты обещал выпить море...  подтверди своё  слово:  море. Но только море... без воды рек, которые впадают в него. Ты скажешь  им: "Отделите воды рек от морской воды и тогда я выпью море".


Повторю, я приветствую молодую энергию с горящими глазами. Так и надо. И плевать, что за 200 лет никто так и не решил аналитически данный интеграл. Все эти предки были глупы и никто из них никогда не обладал знаниями и умениями Грю.


Ещё немного ожидания, и мы увидим чудо…

(90) Ты изменил условие. По условию амплитуда и фаза в заданной точке пространства известны изначально, и заданы функциями.

По твоему условию их придется вычислять зная расстояние до щели, а этих данных у нас нет в условии. Твоя задача не имеет решения.

(90) >> но тут он захотел пойти дальше и убрать произвольные функции из-под знака интеграла:

Ну дальше пошла откровенная ложь. Злоп, ты что ли брехун Гена под другим ником? Зачем в качестве аргументов приводишь выдуманные глупости. Испортил все свое предыдущее решение вот так вот запросто.

Объясняю еще раз. В условии задачи не было никакого интеграла с косинусом и корнем, я специально заменил его на более простые функции, которые можно проинтегрировать, чтобы вы смогли решить:

>> F1 - любая функция, например, синус: sin(x)
>> F2 - другая функция, например, возведение в квадрат: x * x

Сложную функцию я подсунул Гене чтобы постебаться над ним, потому что знал что он ее не сможет решить. Просто чтобы он попытался и убил время впустую, а потом снова начал выкручиваться.


Далее. Задачу эту ни на каком собеседовании не давали. Я ее сам придумал для развлечения, и выложил чтобы проверить сможет ли ее кто-то еще решить кроме меня. Только один человек смог, как выяснилось, и еше один понял уже выложенное готовое решение, это оказался ты, хотя условие перепутал, но это мелочи.

(93) т.е. Вы придумали какую-то абстрактную задачу на интегрирование? А зачем тогда приводили здесь программный код для постоянной светящейся щели с красивой картинкой реальной от неё интерференцией? Что-то Вы крутите, право. Ну да ладно.
А код хороший. Мне понравилось, что С++ самостоятельно разбивает отрезок на нужные шаги, а то я как-то привык, что длину шага надо подбирать принудительно. А здесь написал b++ и программа сама соображает.
Если я, конечно, правильно понял.

Ну а с Вами всё ясно.

(94) Да, С++ мощный.

(95) А как из него сделать вывод в красивую ту графическую картинку? Если, к примеру, я свои задачи на нём попробую?

Непонятны три вещи:

1.для школьной олимпиады формула эйлера все-таки слишком.
2.В условиях требовалось получить аналитическую формулу для приведенных функций распределения, для "вычисления без всяких циклов" - а в решениях предлагается интегрирование числеными методами
3.Почему все забыли (особенно удручает, что забыл Злоп), что волна распространяется не в плоскости, а в пространстве...