Алгебра 8 класс. Спор возник по поводу: чему равен остаток от деления -3 (минус три) на 13.
Информация в википедии, а также результат от 1С-го "%" противоречат примерам в учебнике.

Ексель говорит что

Кстати в 1С -3 получается так как сначала считается остаток, а потом умножается на -1

А что в учебнике?

(1)ексель продвинутей, чем 1С. А есть в нем "неполное частное"? д.б. -1 в этом случае.

(4) Почему -1? 0 показывает

ЧАСТНОЕ (функция ЧАСТНОЕ)

Описание

Возвращает целую часть результата деления с остатком. Эта функция используется, когда нужно отбросить остаток от деления.

Синтаксис
ЧАСТНОЕ(числитель, замечание)
Аргументы функции ЧАСТНОЕ описаны ниже.
Числитель    Обязательный. Делимое.
Знаменатель    Обязательный. Делитель.

(3)В учебнике определение:
Остатком от деления целого числа a на натуральное b называется такое целое число r, что разность (a-r) делится на b и 0<=r<=b.

(5)Тогда не работает формула под определением:
a = bq + r,
q - неполное частное.

Школьников (или их родителей) нет?
Как сыну объяснить сабж?

(7) Учебник прав. 1С и многие другие не правы! Впрочем математика наука абстракная. Каждый имеет право давать свое определения остатка от деления!!! Правда не мешало бы при этом предупредить потенциальных потребителей.

Остаток от деления целого на натуральное число ВСЕГДА лежит в интервале [0..N-1]

(10) Учебник не прав!
0<=r<b

(12)Это я описАлся, второе неравенство - строгое. Сорри.
(11)Как обяснить как надо этот остаток вычислять?

(13)Так и объясняй: сколько надо отнять, чтобы разделилось без остатка.

(14)Чтобы знать, что надо столько-то отнять, надо знать неполное частное. Или просто подбирать?
Хотел формального решения...

(15) Я не помню. У нас вроде это было в первом-втором классе - 30 лет назад :)
В восьмом классе уже всяко умеют делить в столбик.

(15)Ну, для положительных b неполное частное - цел(b/a)

Вообще, при делении в столбик - у тебя справа - частное, внизу - остаток.

Соответственно, остаток:=
остаток(b/a)= b-цел(b/a)

остаток(b/a)= b-цел(b/a)*a

(17)С обоими натуральными вопросов нет.
(16,18)Хоть столбик, хоть любой калькулятор выдают в остатке, при делении меньшего на большее 0 целых. А тут надо -1.

На числовой оси, графически, наглядно видно (кроме понимания, что неполное частное -1)...
(19,20)
Из табло:
Цел(13/(-3)) = -4
13-Цел(13/(-3))  = 17
13-Цел(13/(-3))*(-3) = 1

a=-3, b=13

столбиком решать 87

(21) Подели положительное (модуль), а потом скорректируй результат в случае ненулевого остатка.

что такое? И на числовой оси ужЕ не видно...

(24)Делю в столбик положительное 3 на 13.
Сразу остаток получается 3. Что делать дадльше?

а делим на b, а<0, b>0
q' = (-a) div b
r' = (-a) mod b
Если r'=0 тогда q = -q', r = 0
Если не равно нулю, тогда
q = -q' - 1
r = -r' + b

Когда b<0 формула в принципе та же самая, только вместо цел надо брать округление в меньшую сторону (т.е. дробь всегда к меньшему целому).
остаток(b/a)= b-ОкрВМеньшуюСторону(b/a)*a

catena математичка ? о_О

(29)Репетиторствую немного :)

(30) спроси у своих это Задача 6ого класса

(31)Ага, видела. Спрошу, себе взяла на заметку.

(0) И что? В начальных классах учат, "что делить на -1 нельзя", однако это не правда. А еще учат, что "через две точки можно провести только одну прямую", что тоже не правда. И т.д. ;)

PS как в учебнике, так и правильно.

+(33) тут вопрос в договоре, как договорились так и есть, судя по (7) будет -3 (минус три)

(27)
q' = Цел(3/13) = 0
r' = 3%13 = 3

r'>0
=>
q = -q' - 1 = -0 - 1 = -1
r = -r' + b = -3 + 13 = 10

По числам всё правильно.
Спасибо.
Осталось формулироваку придумать.

----------------
(28)
остаток(b/a)= b-ОкрВМеньшуюСторону(b/a)*a
= 13 - ОкрВМеньшуюСторону(13/-3) * (-3)
= 13 - (-5) * (-3) = 2

Где я ошибся в вычислениях?

(35)Я сказала БЕ меньше нуля :)

(34)К определению в (7) подходит 10. Не ясно было как вычислять.

> А еще учат, что "через две точки можно провести только одну прямую", что тоже не правда

школьное обоснование где ?

(36)я запутался...
В цифрах из (0) можешь показать, если не трудно?

+(36)Твое определение в (7) только для положительных делителей.

(37) не знаю как ты считаешь, но судя по (7) именно -3 )))

(41)Нет. 10. Судя определению в (7) - остаток всегда положительный.

(41) И давно у нас -3 стало неотрицательным?

остаток(b/a)= b-ОкрВМеньшуюСторону(b/a)*a
б=-3
а=13
остаток(-3/13)= -3-(-1)*13 = 10

(43) там написано, что r целое, имхо противоречие

(45)0<=r<b!

(40)Там сказано _целое_ на натуральное. Так в книжке. Там разбирается пример, где написано "при делении -1 на 14 остаток будет 13" это и заставило задуматься. Не ожидал.

по-моему, вы все пургу гоните

понятие остаток от деления появляется, когда делимое больше делителя по абсолютной величине

(48)Это мы уже вчера проходили... v8: v8: Остаток от деления на цело

А что по этому поводу у Гаусса написано?

Вообще, определить-то можно по-разному... Помнится, на логике на экзамене у нас преподаватели любили доп.вопросом: Давайте введем определение:...., как тогда изменится доказательство? ))

(49) и ?

(44)ты (я?) перепутала a и b...
Спасибо.

(48)
Т.е. остатки целочисленного деления в (11/10) и (1/10) разные?

> (1/10) разные?

нет остатка - эта "правильная дробь"

(53) Ага, переименовала :)

(52)Ну, по-твоему остаток от 5 делить на 10 = 0?

(55) от 1/2 - да

(54)так остаток и будет численно равен числителю, пока числитель не станет меньше знаменателя.
Разложи получение остатка для (11/10) на итерации...

(57)

вот тут как раз и будет

11/10 = A + R/B

где R = 1, остаток есть

(56)Ну что ж, ты имеешь право так считать, просто определение (7) из другой оперы. Для положительных чисел 1С придерживается определения (7) :)

5%10 = 5.

(58)а вариант, когда A=0 не кошерный?
:)

ну так вот для целых чисел определение такое
a, b принадлежат Z, b <> 0, a = bq + r, где 0<=|r|<|b|

Все это напоминает спор между остроконечниками и тупоконечниками из "Приключений Гулливера".

классы вычетов ))

(60) а понимаю, что ты хочешь сказать из этой формулы

- 3/13 = 0 + 3 / (-13)

но это по сути тождество (!)

странно , что Ненавижу 1С раньше не пришёл =)

(65) ну выходной же, ходил в Ашан закупаться консервами перед митингом ))

(66) аааа ...

в театр надо идти

wiki:Остаток_от_деления

При делении двух целых чисел остаток от деления может быть как положительным, так и отрицательным числом. Чаще всего решение подобных проблем <b>неоднозначно<b>. Формально:
если , то , где
Пример:
Деление ?42 на ?5 может быть представлено, как
? 42:( ? 5) = 9, остаток 3, или
? 42:( ? 5) = 8, остаток ?2

(68)Я это видел. На что они там ссылаются?
А речь в сабже про целое и натуральное, для которых есть "Теорема о делении с остатком":
"
Для любого целого числа а и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что
a = bq + r,
где q - целое,
r - натуральное или нуль,
причём 0?r<b.
"

В общем предложу такой алгоритм _вычисления_ остатка (надеюсь, не спросит "почему?"):

Имеем правильную дробь. Для варианта с отрицательным делимым выладки такие (можно и положительным, результат тот же, но это будут лишние вычисления, там и так всё ясно):
1. Числитель правильной дроби численно равен остатку от целочисленного деления.
2. Минус снести в знаменатель нельзя - по определению делитель - натуральное число.
3. Минус внести в числитель нельзя - по определению остаток (в данном случае делимое) - натуральное или ноль.

=> Надо сделать дробь положительной.
Применяем классический математический финт - добавим к дроби 0 = (1-1).
В цифрах для (0) имеем:

(-3)/13 = 1 + (-3)/13 - 1 = 10/13 - 1.
И всё.
Неполное частное = -1;
Остаток, он же числитель = 10.

(70) А может, проще воспользоваться тем, что
a%b = (a+n*b)%b
то есть, просто добавить к делимому достаточно большое число, кратное делителю?

(71)Это почти тоже, что и (70).
Да, так остаток получим. А вот неполное частное - некорректно.

(72) Почему "некорректно"? Вычтем то самое n - и наступит счастье.

(73)если ещё и вычтем - тогда будет полный клон (70) :)
где ж ты раньше был?..
:)

(74) Работал :-)
А с чего столь банальный вопрос потребовал аж целой ветки?
Тем паче что в учебнике почти ((12)) правильно всё написано?

(75)я не знал как посчитать остаток для цифр в сабже.
Был уверен, что -3. Домашние ответ не приняли, ибо (12). Методом тыка подобрал 10, а как вычислять в общем виде не знал :(...