Нужно обратиться к периоду выгрузки данных в обработчике "После загрузки данных". Можно ли это сделать, не добавляя специального параметра?

вряд ли

(1) В форме обработки "Универсальный обмен" при загрузке отображается период выгрузки. Наверняка, и программно доступен.

Если через УниверсальныйОбменДанными, то доступны ДатаНачала, ДатаОкончания

Это реквизиты обработки.