|
Правильный треугольник на клетчатой бумаге | ☑ | ||
---|---|---|---|---|
0
Михаил Козлов
06.06.12
✎
14:50
|
На листке клетчатой бумаги 100х100 клеток разместить треугольник с вершинами в узлах, наиболее приближенный к правильному.
|
|||
1
vde69
06.06.12
✎
14:53
|
основание под 30градусов ???
|
|||
2
Mikeware
06.06.12
✎
14:55
|
бедняга. Задачка для 5 класса
|
|||
3
Xapac_2
06.06.12
✎
15:01
|
ставишь 3 точки и соединяешь по линейке. какие сложности?
|
|||
4
palpetrovich
06.06.12
✎
15:02
|
87 :)
|
|||
5
aka AMIGO
06.06.12
✎
15:03
|
(1)под 60
(0) рисуешь основание, измеряешь длину циркулем, делаешь 2 засечки из окончаний прямой-основания.. вроде всё.. |
|||
6
raipo
06.06.12
✎
15:04
|
(4) - долго описывать?
основание - 100 клеток, из середины восстанавливаем перпендикуляр и отсчитываем 87 клеток |
|||
7
Xapac_2
06.06.12
✎
15:05
|
стоп а что такое "правельный" треугольник?
|
|||
8
vde69
06.06.12
✎
15:05
|
кстати какой критерий "наиболее приближенный к правильному"
1. отколение в мм от идеальной точки 2. отклонение углов от 60гр 3. относительная длина и т.д. что есть мерило? |
|||
9
MadHead
06.06.12
✎
15:05
|
(5) я так понимаю без циркуля надо это сделать. По теореме синусов иил косинусов рассчитай высоту и пол стороны
|
|||
10
MadHead
06.06.12
✎
15:06
|
блин не по теореме, а через синус или косинус угла
|
|||
11
trad
06.06.12
✎
15:07
|
(5) "с вершинами в узлах"
я так понимаю вершины должны быть на пересечении разлиновки |
|||
12
palpetrovich
06.06.12
✎
15:08
|
(8) наверное не зря там про "клеточки" :)
|
|||
13
vde69
06.06.12
✎
15:09
|
решение можно сделать так
из угла под проводим 2 линии под улами 15 и 75 градусов, на этих линиях ищим точку где она пересечет центр клеточки (а она гарантировано пересекает, вроде 1/8 клеткам, или 16), дальше соеденяем. треугольник будет ТОЧНО ПРАВИЛЬНЫМ |
|||
14
palpetrovich
06.06.12
✎
15:11
|
(11) упс, по-ходу в (4) я прогнал, задачка-то с подковыркой. наверняка есть другое целое основание, при котором с целой-же высотой треугольник будет "точнее"
|
|||
15
mozzga
06.06.12
✎
15:11
|
шесть клеток вправо три вверх в вот угол поделен на 30 и 60 грудусов
|
|||
16
acsent
06.06.12
✎
15:12
|
(8) минимальная разница между мин и макс стороной
|
|||
17
palpetrovich
06.06.12
✎
15:13
|
+(14) к примеру основание 6, высота 4
|
|||
18
MadHead
06.06.12
✎
15:14
|
(15) врядли )
|
|||
19
NcSteel
06.06.12
✎
15:14
|
на клетке легко сделать 60 градусов угол. Далее от него плясать.
|
|||
20
acsent
06.06.12
✎
15:14
|
остальные стороны будут по 5
|
|||
21
vde69
06.06.12
✎
15:15
|
вариант 1
первая точка 0.0 вторая точка 4.1 третья точка 1.4 ----------------------------- вариант 2 первая точка 0.0 вторая точка 8.2 третья точка 2.8 и так далее |
|||
22
NcSteel
06.06.12
✎
15:16
|
(19) + Либо зная длину катетов прямоугольного треугольника при углах в 60 и 30 градусов, то можно лугко получить правильный треугольник
|
|||
23
acsent
06.06.12
✎
15:17
|
(21) это не правильный тр-ник.
|
|||
24
acsent
06.06.12
✎
15:18
|
а если он неправильный, то нужно доказывать
|
|||
25
vde69
06.06.12
✎
15:19
|
(23) это почти правильный :) просто мне лень считать 15г через какие точки проходит
|
|||
26
NcSteel
06.06.12
✎
15:19
|
(22) + Используя торему синусов (или косинусов уже не помню) + x^2 = a^2 + b^2 Можно лугко получить длину большого катета. Малый равен 50 = (100 / 2)
|
|||
27
palpetrovich
06.06.12
✎
15:19
|
(21) я так понимаю клетки должны быть целыми
|
|||
28
NcSteel
06.06.12
✎
15:20
|
(27) Ваши домыслы.
|
|||
29
raipo
06.06.12
✎
15:21
|
так есть же ответ уже - первая точка (0,0)
вторая - (100,0) третья - (50,87) |
|||
30
sapphire
06.06.12
✎
15:21
|
(0)
A(x,y)=(0,0) B(x,y)=(5,8.6)=(5,5*tg(3.1428/3)) C(x,y)=(10,0) |
|||
31
sapphire
06.06.12
✎
15:22
|
(0) Для 100
A(x,y)=(0,0) B(x,y)=(50,86)=(50,50*tg(3.1428/3)) C(x,y)=(100,0) |
|||
32
sapphire
06.06.12
✎
15:22
|
(29) Точно :)
|
|||
33
Mikeware
06.06.12
✎
15:23
|
знаменитый прямоугольнфй треугольник 3-4-5 имеет погрешность от 30-60 градусов около 2%. Вполне достаточно.
|
|||
34
Михаил Козлов
06.06.12
✎
15:24
|
Тангенс 60 (отношение высоты к половине основания ) = КОРЕНЬ(3), а это число иррациональное, поэтому совсем правильный (с вершинами в узлах) не построить.
50 и 87 - не самый лучший. |
|||
35
palpetrovich
06.06.12
✎
15:27
|
(33) не, у этого знаменитого основание = 6, а стороны=5 :)
|
|||
36
acsent
06.06.12
✎
15:27
|
можно конечно состваить уравнение для (16), взять производную, наэти экстремуму, но влом
|
|||
37
Шапокляк
06.06.12
✎
15:27
|
(13) А зачем так? У правильного треугольника все углы по 60 градусов. Какие 30 градусов в углах?
(0) Высота у правильного треугольника составляет со сторонами угол 30 градусов. Известно также, что в прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла 30 градусов, вдвое меньше гипотенузы. Соответственно, рисуем треугольник, у которого с - длина стороны, h - высота, при этом h=SQRT(3)*c/2. Если мы размещаем горизонтально основание с, и при этом оно составляет по длине целое число клеточек, то высота никак не может быть целым числом. Нетрудно видеть, что можно подобрать такое основание, при котором высота наиболее приближена к целому числу, а треугольник к правильному. |
|||
38
Михаил Козлов
06.06.12
✎
15:28
|
(33) Речь не о том, достаточно или нет, а о "лучшем" варианте (угол при основании наиболее близок к 60).
|
|||
39
vde69
06.06.12
✎
15:28
|
самый правильный, расхождения менее 0.1%
0.0 100.39 39.100 |
|||
40
acsent
06.06.12
✎
15:29
|
(37) ты ограничиваешь себя стороной полностью лежащей на линии, а это не обязательно
|
|||
41
Михаил Козлов
06.06.12
✎
15:30
|
(36) Экстремум придется брать по целым точкам и можно, вернеее, точно натолкнешься на локальный экстремум. Проще в Экселе прогнать.
|
|||
42
Шапокляк
06.06.12
✎
15:31
|
(40) Тогда вообще нет ограничений. Строна 100, высота вверх их середины стороны - посчитай, поставь точку и соедини. Впрочем, в (00 вроде про клетки сказано?
|
|||
43
acsent
06.06.12
✎
15:31
|
(41) но задача же не на такое решение в лоб ))
|
|||
44
Михаил Козлов
06.06.12
✎
15:32
|
(39) В оптимуме 0,02%.
|
|||
45
acsent
06.06.12
✎
15:32
|
и вообще треугольник может быть неравнобедренным
|
|||
46
acsent
06.06.12
✎
15:32
|
или нет?
|
|||
47
raipo
06.06.12
✎
15:34
|
(44) так что в (39) решение или нет?
|
|||
48
acsent
06.06.12
✎
15:35
|
собственно задача найти или доказать?
|
|||
49
Шапокляк
06.06.12
✎
15:35
|
Пипец правильный треугольник в (39) - две стороны по 107 и одна 86!
|
|||
50
vde69
06.06.12
✎
15:35
|
в екселе проганл, оптимальное
0,0 85,22 22,85 отклонениеие от идельной точки 0,000381166 |
|||
51
Михаил Козлов
06.06.12
✎
15:39
|
(50) У меня получилось основание - 82, высота 71, отклонение -0,00034349
У другим методом такой же ответ. |
|||
52
palpetrovich
06.06.12
✎
15:41
|
де-то я слажал :))
Для МалыйКатет = 1 по 100 Цикл МинимальнаяРазница = 1000; ИскомаяГипотенуза = МалыйКатет*2; Для БольшойКатет = МалыйКатет по ИскомаяГипотенуза Цикл // грубо Разница = Pow(ИскомаяГипотенуза,2)- Pow(БольшойКатет,2) + Pow(МалыйКатет,2); Если Разница < МинимальнаяРазница Тогда МинимальнаяРазница = Разница; НужныйМалыйКатет = МалыйКатет; КонецЕсли; КонецЦикла; КонецЦикла; Сообщить("НужныйМалыйКатет " + НужныйМалыйКатет); |
|||
53
NcSteel
06.06.12
✎
15:41
|
Если в школе нужен был правильный треугольник , то рисовал его так:
от точки отситывал 3 клетки и две в стороны , потом опять 3 клетки и две всторону. таким образом получался почти правильный треугольник. В личке выложил картинку. Итог: Высота 75, основание 100. |
|||
54
Шапокляк
06.06.12
✎
15:42
|
(50) И все стороны равны? Или какой там критерий?
В общем, самый равносторонний треугольник такой: чертим горизонтальный отрезок 52 , делим его пополам, откладываем от середины высоту 45 и все точки соединяем. |
|||
55
vde69
06.06.12
✎
15:42
|
(51) посчитай мой треугольник, просто я не понял как ты на основании 82 получил лучший результат
|
|||
56
acsent
06.06.12
✎
15:44
|
апочему решили что корень из 3 нельзя построить, ведь корень из 2 можно ведь
|
|||
57
aka AMIGO
06.06.12
✎
15:44
|
Sin(60град) = 0.8660
т.е. высота равностороннего треугольника = 0.8660 основания. отседова примерно следует: Если основание = 1000ед, то вершина точно будет отстоять от него точно на 866 квадратиков.. больше ничего не придумывается :) |
|||
58
Шапокляк
06.06.12
✎
15:45
|
(51) да, извиняюсь за (54) - этот самый оптимальный, между корнем из 3 и высотой всего 0.01!
|
|||
59
aka AMIGO
06.06.12
✎
15:45
|
а 0.8660 - корень из 2 деленное на 2
|
|||
60
NcSteel
06.06.12
✎
15:45
|
(57) +1 .
|
|||
61
aka AMIGO
06.06.12
✎
15:45
|
пардон, корень из 3 деленное на 2
|
|||
62
Мимо Проходил
06.06.12
✎
15:50
|
Если критерий - минимизировать разницу межу максимальной и минимальной стороной, то это точка.
|
|||
63
Михаил Козлов
06.06.12
✎
16:23
|
(52) Можно и программно, но в Вашем варианте число операций квадратично по числу клеток (100), а можно за LOG.
|
|||
64
vde69
06.06.12
✎
16:26
|
0,0
41,11 11,41 разница длин сторон составляет 0,055540132% или 0,023563682 клетки |
|||
65
palpetrovich
06.06.12
✎
16:29
|
(63) не, там слажал, потом малехо поправил, но все-равно более верный результат в (51) не получил
МинимальнаяРазница = 100; Для МалыйКатет = 1 по 50 Цикл ИскомаяГипотенуза = МалыйКатет*2; БольшойКатет = Sqrt(Pow(ИскомаяГипотенуза,2)- Pow(МалыйКатет,2)); Разница0 = БольшойКатет - Окр(БольшойКатет, 2, 0); Разница1 = Окр(БольшойКатет, 2, 1) - БольшойКатет; Разница = ?(Разница0<Разница1,Разница0,Разница1); Если Разница < МинимальнаяРазница Тогда МинимальнаяРазница = Разница; НужныйМалыйКатет = МалыйКатет; НужныйБольшойКатет = БольшойКатет; ИскомаяГипотенуза = Pow(НужныйБольшойКатет,2) + Pow(НужныйМалыйКатет,2); КонецЕсли; КонецЦикла; Сообщить("МалыйКатет " + НужныйМалыйКатет + " БольшойКатет "+ НужныйБольшойКатет+" Гипотенуза "+ИскомаяГипотенуза); // МалыйКатет 22 БольшойКатет 38,1051177665153 у мну погрешность больше :) |
|||
66
RomanYS
07.06.12
✎
11:02
|
Лучший на поле 100*100
(0,0) (15,56) (56,15) Дельта 0,0086238947539 Есть лучше, но слегка не влезет в 100*100: (0,0) (56,97) (112,0) 0,004464196745 <code> к = Sqrt(3)/2; МинДельта = 1; Для х = 1 По 100 Цикл Для у = 0 По 100 Цикл х1 = Окр(х/2 + к*у); у1 = Окр(у/2 - к*х); Дл1 = Sqrt(х*х+у*у); Дл2 = Sqrt(х1*х1+у1*у1); Дл3 = Sqrt((х1-х)*(х1-х)+(у1-у)*(у1-у)); Дельта = Макс(Дл1, Дл2, Дл3) - Мин(Дл1, Дл2, Дл3); Если МинДельта > Дельта Тогда МинДельта = Дельта; Сообщить(""+Дельта + " ("+х+","+у+") ("+х1+","+у1+")"); КонецЕсли; КонецЦикла; </code> |
|||
67
palpetrovich
07.06.12
✎
17:51
|
(66) в (51) погрешность меньше. А вообще - забавно, я даже возможность поворота теугольника не рассматривал... :)
|
|||
68
RomanYS
07.06.12
✎
20:43
|
(67) в (51):
-0,012196029=КОРЕНЬ(71*71+41*41)-82 |
|||
69
Михаил Козлов
07.06.12
✎
20:57
|
(68) Не проверял, скорее всего Вы правы.
Я как-то заложился на горизонтальное основание - виноват. В этом случае задача сводится к поиску целых p и q (p<=100, q<=50), так что p/q наилучшим образом приближает SQRT(3). По этой теме есть интересный аппарат цепных дробей (wiki:%CD%E5%EF%F0%E5%F0%FB%E2%ED%E0%FF_%E4%F0%EE%E1%FC), который позволяет очень быстро находить такие числа. Советую почитать, особенно приложения. В частности, для ПИ: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102. Значением 22/7 часто пользовались греки (архимедово приближение). Гюйгенс, когда делал механическую модель солнечной системы, тоже их использовал. Первый пример трансцендетного числа привел Лиувилль (году этак в 1841), основываясь на неполных частных. |
|||
70
Михаил Козлов
08.06.12
✎
13:26
|
(68) Проверил Ваше решение: оно оказалось хуже (51) (точность чисел - 12).
У Вас тангенс угла при основании = 1,732738095238, угол = 60,009841741648 Для (51) = 1,731707317073, угол = 59,99507913 У Вас отклонение по углу = -0,009841741648 Для (51) = 0,004920871, т.е. в 2 раза меньше. |
|||
71
andydddd
08.06.12
✎
15:20
|
(0, 0) (41, 71) (82, 0)
отношения сторон 1,0001487 и 1 |
|||
72
andydddd
08.06.12
✎
15:22
|
еще (0, 0) (26, 97) (97, 26) хорошо подхоит
|
|||
73
Михаил Козлов
08.06.12
✎
15:37
|
(72) Отклонение по углу = 0,009840765720, что в 2 раза хуже (51)
(71) = (51). Пока что (51) - лучший. Вообще-то речь не о том, как программно получить лучшее решение. Простым перебором (трудоемкость - размер листа^2) можно найти решение. Цель топика была обратить внимание на цепные (непрерывные) дроби, как очень эффективный (трудоемкость - логарифм от размера) инструмент в задачах, когда нужно приближать числа рациональными (с не очень большими знаменателями). В частности, для приближения SQRT(3) с числителем и знаменателем<=100 нужное неполное частное получается на 6-м шаге. |
|||
74
vde69
08.06.12
✎
15:39
|
(73) а (64) как?
|
|||
75
vde69
08.06.12
✎
15:44
|
(73) программно совсем не размер листа, все гораздо проще
первая точка всегда 0.0 вторая точка лежит в сегменте 15градусов от точки 0.0 третья точка определяется как одна из 4х то есть простой перебор с размером листа Х это примерно х*х/2 то есть половина точек, а при небольшей оптимизацией 1/8 от количества точек |
|||
76
Михаил Козлов
08.06.12
✎
15:45
|
(74) Отклонение по углу = 0,036721262301. В 7 раз хуже (51).
|
|||
77
Михаил Козлов
08.06.12
✎
15:47
|
(75) Что N^2, что N^2/2, что N^2/8 - порядок N^2. А неполные частные позволяют за LOG(N).
|
|||
78
vde69
08.06.12
✎
15:51
|
(77) логарифмы считаются сильно дольше чем корни.
думаю, что задачу можно решать путем бинарных операций |
|||
79
155153144627
08.06.12
✎
15:52
|
http://s019.radikal.ru/i639/1206/4c/a988886b754e.jpg
Я вот так сделал :-) |
|||
80
155153144627
08.06.12
✎
15:54
|
Разместил на листке и пох что он в клетку...
|
|||
81
Михаил Козлов
08.06.12
✎
15:55
|
(77) Не логарифмы считаются, а количество операций О(log(N)), где N - размерность задачи (число клеток). Для N = 1000 у Вас будут сотни тысяч, а в неполных частных - десятки.
|
|||
82
Михаил Козлов
08.06.12
✎
15:57
|
(80) Извините, не понял.
|
|||
83
155153144627
08.06.12
✎
16:03
|
(82) Сложи листок попалам вдоль, и совмести уголок с линией сгиба, отметь точку. Соедини углы с точкой.
|
|||
84
Михаил Козлов
08.06.12
✎
16:15
|
(83) У Вас равносторонний треугольник, но вершина не попадет в узел. Речь не о том, как построить правильный треугольник - Вы, по сути воспользовались нижней стороной листа, как циркулем.
|
|||
85
DailyLookingOn Sunset
08.06.12
✎
16:18
|
Проверил (51) и (66).
Соотношение всех сторон одинаковое и равно sqrt(2). Т.е. треульгольники подобны. Как при этом можно насчитать разные погрешности углов в (70)? Понятно, что если треугольник меньше, то и погрешность длин у него меньше. |
|||
86
Михаил Козлов
08.06.12
✎
16:23
|
(85) Могу прислать файл Эксель с вычислениями. Мое мыло в профиле.
|
|||
87
Михаил Козлов
08.06.12
✎
16:26
|
(66) Кстати, (56,97) - следующее неполное частное.
|
|||
88
DailyLookingOn Sunset
08.06.12
✎
16:27
|
(86)
0 0 81,9878039711 0 82 82,0000000000 71 41 81,9878039711 0 0 57,9741321625 15 56 57,9741321625 56 15 57,9827560573 82,0000000000/57,9827560573 = sqrt(2) 81,9878039711/57,9741321625 = sqrt(2) |
|||
89
Адинэснег
08.06.12
✎
16:43
|
этож самолетик так делается. Лист пополам, потом сворачиваем уголки как самолет собираем, но углы не к центру, а в нахлест, так чтобы, нижняя часть уперлась ровно в сгиб "верхнего" уголка, а верхний уголок лег ровно на край нижнего получится 60%
Останется нихняя часть, ее обрезать |
|||
90
Deni7
08.06.12
✎
16:48
|
Брутфорсом:
Процедура Выяснить() Разниццо = 1000; Х = 0; У = 0; ММК=0; Для МК = 0 По 100 Цикл Для i = 1 по 100 Цикл Для j = 1 по 100 Цикл СторонаА = Sqrt(i*i+j*j); i1 = МК-i; СторонаБ = Sqrt(i1*i1+j*j); Если СторонаА > СторонаБ Тогда МаксАБ = СторонаА; МинАБ = СторонаБ; Иначе МаксАБ = СторонаБ; МинАБ = СторонаА; КонецЕсли; Если МК > МаксАБ Тогда МаксАБС = МК; МинАБС = МинАБ; ИначеЕсли МК < МинАБ Тогда МаксАБС = МаксАБ; МинАБС = МК; Иначе МаксАБС = МаксАБ; МинАБС = МинАБ; КонецЕсли; Р = (МаксАБС - МинАБС)/МаксАБС; Если Разниццо > Р тогда Разниццо = Р; Х = i; У = j; ММК=МК; СторонаАА = СторонаА; СторонаББ = СторонаБ; КонецЕсли; КонецЦикла; ОбработкаПрерыванияПользователя(); Состояние(""+МК+" "+i); КонецЦикла; КонецЦикла; Сообщить(""+Разниццо+" "+Х+" "+У+" "+ММК); КонецПроцедуры Ответ: (0;0), (41;71), (82;0) Разница: 0,00014873206 (88) Да |
|||
91
Адинэснег
08.06.12
✎
16:53
|
||||
92
ILM
гуру
08.06.12
✎
17:05
|
Правильно, скоро отменят интернет, выдадут всем листочки в клеточку. Циркули тоже отберут. ЕГЭ блеать!!!
|
|||
93
sash-ml
08.06.12
✎
18:01
|
почему всегда есть точка 0.0?
|
|||
94
smaharbA
08.06.12
✎
18:06
|
добавить недостающий узел внутре клетки
|
|||
95
RomanYS
08.06.12
✎
22:08
|
(70) треугольники в (51) и (66) подобны и они равнобедренные
сравнивая углы для (51) Вы взяли угол при основании, а для (66) при вершине (между равными сторонами), надеюсь не надо объяснять почему отклонение ровно в 2 раза "лучше". Если как критерий брать абсолютную разницу, то треугольник в (66) в sqrt(2) раз лучше. Если критерий - относительная разница или отклонение углов, то данные треугольники "равноценны". |
|||
96
GANR
28.06.12
✎
19:47
|
Самый простой способ - составить программу
1. Выбирающую все возможные варианты треугольников с вершинами в узлах клеток из куска клетчатой бумаги 100 на 100 клеток. 2. Находящую углы треугольников из узлов (1). 3. Проверяющую максимальное отклонение углов от 60 градусов. А именно без программы совсем никак ??? |
|||
97
Михаил Козлов
28.06.12
✎
20:02
|
(96) Перебором можно получить с трудоемкостью О(N) (N - число клеток на листе). Неполные частные - О(LOG(N)).
Для исходной задачи решение получается на 6-ом шаге. Для числа клеток = 1000 - на 10-ом. Для 10 000 - на 13-ом. Повторю: цель топика - обратить внимание уважаемой публики на цепные дроби, как красивый и практичный инструмент приближения чисел рациональными с небольшими знаменателями. Что Вы имеете в виду под "без программы"? Если бы даже была явная формула через арифметические операции - это ведь тоже программа. |
|||
98
GANR
28.06.12
✎
20:10
|
(97) "без программы" это значит алгоритм по которому человек мог-бы за разумное время (минут 20 максимум) найти решение "на бумаге".
|
|||
99
Михаил Козлов
28.06.12
✎
20:16
|
(98) Как раз неполные частные и позволяют это делать: Гюйгенс так считал число шестеренок для механической модели Солнечной системы.
Помимо эффективности вычислений, цепные дроби позволяют получить и другие интересные результаты: не поленитесь - прочитайте в Википедии. |
|||
100
NS
28.06.12
✎
20:27
|
(99) не совсем понятно как применить их к этой задаче.
Для частных случаев - одна из сторон идет ровно горизонтально или вертикально, либо одна вершина в 0,0, а две другие в а,в и в,а - понятно, но это всего лишь частные случаи. Не факт что оптимальный треугольник будет иметь такой вид. |
|||
101
Михаил Козлов
29.06.12
✎
16:54
|
(100) Вы правы. Я уже извинился в (69). Давайте рассматривать задачу в такой постановке. Впрочем, похоже, это условие (сторона горизонтально) не является здесь обременительным.
Замечу, что неполные частные пригодились и в исследовании чисел Фробениуса ("Цыплячьи ножки"). Еще знаю, что находили применение в квадратурных формулах для некоторых классов функций. |
|||
102
NS
29.06.12
✎
16:57
|
(101) Где-то читал я про них в советское время. Большая статья была, или даже целая брошюра.
|
|||
103
Михаил Козлов
29.06.12
✎
17:15
|
(102) Хинчин "Цепные дроби". Не запала?
|
|||
104
NS
29.06.12
✎
17:21
|
(103) Похоже она.
|
Форум | Правила | Описание | Объявления | Секции | Поиск | Книга знаний | Вики-миста |