Одна леди оказалась в затруднительном положении: ей хотелось отправить посылку сыну, а веревки у нее было всего 3 м 60 см, если не считать узлов! Веревка должна один раз охватывать посылку вдоль и два раза поперек.
 _____________
/___/___/____/|
/___/___/____/||
|   |   |    |||
|___|___|____|/

Какую наибольшую по объему посылку в форме прямоугольного параллелепипеда она сможет отправить при таких условиях?

интеграл надо решить?

(1)Подсказываю: данная задача сводится к задаче поиска максимума функции нескольких переменных. Разумеется есть ограничение - переменные никак не могут быть меньше 0.

2*(a+b)+(a+c) = 180
V =a*b*c -> max

(3) до этого и я  додумался, а дальше?

A = 3*a, B = 2*b, C = c
V = A*B*C/6 -> max
очевидно при A = B = C

3*a = 2*b = c = 60

(5) очевидно ему...

(3) (4) Верно. (4) Далее надо вспомнить условия максимума функции от нескольких перемнных.

(6)очевидно
=)
сам новое сообщение увидел как свое дописывал

(6)
ну ведь очевидно, что у шара наибольший объем при минимальной площади поверхности

(7) если бы еще их знать, что бы вспомнить ))

(9) ?

(5) Ответ-то правильный. Тут весь прикол в том чтобы именно ХОД РЕШЕНИЯ вывести.

(11) !

(11) Частные производные надо приравнять к нулю надо как минимум и составить систему уравнений.

(7)зафиксировав А(например, также для B,C)
получим
В+С=180-А
ВС->max,
отсюда задача на экстремум для одной переменной с результатом B=C
(аналогично А=В, А=С)

27 литров. Сыну хватит.

(15) Да-да. Одну из сторон параллелепипеда можно выразить через 2 других. (16) 27 - неверно, больше.

Но сразу скажу A <> B <> C. Правильный ответ 20, 30 и 60 см. Но как к нему прийти???

20, 30 и 60 - это a,b,c
А А=B=C (см (5))
Всего 36 литров.

(19) 2 витка - поперек, 1 виток -вдоль

в интернете все чтоли посмотрели ответ? Или тут такие гении что за 6 минут всё решили? :)

(20)
согласен, опЛошал

Надо хотя-бы как-то обосновать ответ.

В принципе, если не ограничивать себя тремя измерениями, то при отрицательных A и B объем посылки не ограничен.

(24) Нужно выбирать только те экстремумы, при которых A, B и C > 0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=max+180*A*B-3*A*A*B-2*A*B*B%2C+A%3E0%2C+B%3E0&dataset=

(23)->(3),(5),(15)

Частные производные в точке = 0. Нужно решить систему

(28) Совершенно верно. (27) А где-же процесс поиска этих самых точек? Как они найдены? "Очевидно" - это недостаточно для ответа.

Теперь ход решения в студию))))

F(B,C) = B*C*(180-C)
Дальше элементарно

F(B,C) = B*C*(180-(B+C))

(29) Известное соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим.
Если хотите совсем "формально", то это условный экстремум - см. множители Лагранжа. Условие А>0, В>0 и С>0 в данном случае выполняются автоматически (т.к. если одно из них = 0, то и объем =0).

(29)
после(15)где А=В=С и
(5)где А=3a, B=2b, C=c, А+В+С=180
все очевидно
(А=В=С=180/3=60, а=20, b=30, c=60)
или деление в столбик добавить? :)

(31), (33) Вот это уже теплее. Теперь остается найти частные производные и составить систему из 2-х уравнений

dF/dB = 0 и dF/dC = 0

высота 20
ширина 30
длина 60
вроде так получается

(34) Вот Вам с самого начала:
2*(a+b)+(a+c) = 180
V =a*b*c -> max
Функция Лагранжа L(a,b,c,l) = a*b*c + l*(2*(a+b)+(a+c)-180).
Приравниваете частные производные по всем переменным (включая l) нулю:
dL/da = b*c + 3*l = 0
dL/db = a*c + 2*l = 0
dL/dc = a*b + l = 0
dL/dl = 2*(a+b)+(a+c)-180=0
Дальше решаете:
a*c-2*a*b = 0 => a=0 (не подходит), с = 2b
Аналогично: b*c-3*a*b = 0 => b=0 (не подходит), c = 3a
Из последнего: 2*(a+3/2a)+(a+3a)=180 => 9a = 180, a = 20, b = 30, c = 60.

(36) Вот это решение !!! Видно со времён СССР только нормальные математики остались.

(0) А мыло есть?

(38) [email protected]

(37)стандартная техника малоинтересна. алгоритм уже задан заранее.

(40) Ну, лично сам решил без использования множителей Лагранжа, предварительно протабулировав функцию объема как функцию от 2-х переменных V(b, c) в Excel и построив трехмерный график.

Решение:

2a + 4b + 6c = 360 - уравнение граней посылки и длины верёвки.

Множество значений аргументов b и c ограничим неравенствами

b > 0
c > 0                 (ОДР)
4b + 6c < 360

Строим функцию объема как функцию V(b, c) от 2-х переменных b и c (3-я переменная a тождественна 360 - 4b - 6c <=> a = 180 - 2b - 3c):

V(b, c) = (180 - 2b - 3c)*b*c
По графику в Excel видно, что в области допустимых решений (ОДР) функция V(b, c) имеет единственный максимум. Вот его-то и нужно вычислить.

В точке максимума все частные производные V(b, c) будут равны 0. Это необходимое, но НЕ достаточное условие - там может быть минимум или перегиб функции V(b, c). Но, так как в Excel виден единственный максимум, будем полагать, что в (ОДР) находится единственный максимум. Находим частные производные функции V(b, c)

dV(b, c) / db = 180c - 2bc - 3c^2      (ЧП)
dV(b, c) / dc = 80b - 2b^2 - 6bc.

Решаем систему уравнений

180c - 2bc - 3c^2 = 0           (СУ)
80b - 2b^2 - 6bc = 0

Решив систему уравнений (СУ) находим 2 корня, скажем, по b:

b1 = -90 (исключаем согласно неравенствам (ОДР)) и
b2 = 30.

Далее, приняв b за 30 вычисляем:

b = 30 и
c = 20

и, согласно тождеству a = 180 - 2b - 3c, вычисляем a = 60.

Ответ: габариты посылки 20x30x60 = 36000 см^3.

(41) В (ЧП) и СУ вместо 80b - 2b^2 - 6bc надо 180b - 2b^2 - 6bc