Пусть f:Z->Z - функция, заданная в целых числах, принимающая целые значения

Пусть для любых целых a,b,c таких, что a+b+c=0 верно:
f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2*[f(a)*f(b)+f(a)*f(c)+f(b)*f(c)]

Найти все такие функции

какая-то незабавная ((

ппц вс

всё забыл чему учили :( хотел продиффиринцировать обе части, забыл как правильно от сложных функций производную взять

(3) зачем ты ее собрался дифференцировать? она оперделена только в целых числах

да, функций таких бесконечно много, потому как, если f(x) - такая функция, то и g(x)=k*f(x) - такая же
потому рассматриваем с точностью до множителя

тождественный 0? для 2а + (-а) + (-а) = 0 f(а) = 0

(6) тождественный 0 подходит, но это только одно из решений

брр, функция линейна, симметрична и проходит через ноль

(8) линейна? это почему же?

вынес f за скобку )

(10) жгешь

Сразу можно сказать, что f(0)=0 и что эта функция должна быть четной, т.е. f(a)=f(-a)

(12) это верно, это отметил и (8)

(12)+ a=b=c=0 => f(0)^2=2f(0)^2 => f(0)=0
a+(-a)+0=0 => f(a)^2+f(-a)^2 = 2f(a)f(-a) => f(a)=f(-a)

1) (f(a)-f(b))^2+(f(b)-f(c))^2+(f(a)-f(c))^2=0
2) f(a)=f(b)=f(с)
3) a=0,b=0,c=0 =>f(0)=0
4) a=a, b=0, c=-a => f(a)=f(0)=f(-a) (=0 в силу п.3)
отсюда f(a)=0 для любого а
Где ошибка?

а откуда первые два пункта?

(f(a)-f(b))^2=2(f(a)+f(b)-f(c)/2)*f(c)
И т.д.
(15) в (1)

(17) что это даст нам?
последнее вообще не понял

первый пункт - исходное уравнение в другой записи. второй - сумма трех квадратов равна 0, когда каждый равен 0

(18) У (15) ошибка в первом пункте.

(19) не, не верно

Вот такое еще получил свойство функции: f(2a)=2f(a)

(22) не верно

(23). Виноват, вот такое: f(2a)= 4f(a)

2*(f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2)=4*(f(a)*f(b)+f(a)f(c)+f(b)f((c))
(f(a)^2-2*f(a)*f(b)+f(b)^2)+(f(a)^2-2*f(a)*f(с)+f(с)^2)+(f(b)^2-2*f(b)*f(c)+f(c)^2)=0
дальше мой пункт 1

(24) а теперь правильно сказать "не всегда так", вы же там поделили, а делить на 0 нельзя ))

(25) ну справа же стоит коэффициент у вас 4 в первой строке, а вы потом используете только 2, остальные где?

(26) Ничего я не делил:

a+b+(-a-b) = 0; f(a+b) = f(-a-b) =>

f(a)^2 + f(b)^2 + f(a+b)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(a)f(a+b) + 2f(b)f(a+b) =>

[f(a) - f(b)]^2 + f(a+b)[f(a+b) - 2f(a) - 2f(b)] = 0 для всех a,b из Z

Возьмем a=b =>

f(2a) [f(2a) - 4f(a)] = 0 => f(2a) = 4f(a) (или f=0 тождественно)

(28) правильно так:
f(2a) [f(2a) - 4f(a)] = 0 => f(2a)=4f(a) или f(2a)=0
тождественно это ты погорячился

(29) Да, согласен

f(x)=x^2 вроде подходит

(31) да, но это не все

и еще такой: f(x) = 0, если x-четное и f(x) = 1, если нечетное.
Ну -f(x) тоже подойдет

и kf(x) тоже с любым целым k

(34) это понятно
(33) такой вариант тоже верен
остался в принципе один случай, писать?

имеешь в виду, f(x) = 0 всюду или другой какой-то?

(36) другой

(37). Больше вариантов что-то не замечаю. Да и ухожу скоро, нет времени додумать.

(38) f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1, f(4)=0,....
f(n+4) = f(n)

(39). Точно, что-то я не обратил внимание, что f(4) может равняться 0, думал, что f(4)=4f(2). В общем, та же ошибка, что и в (24).