Пусть есть некое отображение f: R -> R такое что:
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x*y)=f(x)*f(y)
То есть операции сложения и умножения сохраняются. Верно ли что f - тождественное отображение?
Свойством непрерывности f пользоваться нельзя, вдруг оно не выполняется

вот для рациональных смог доказать, что f(x)=x, а для всех R?

Точно помню, что если выполняется только f(x+y) = f(x)+f(y), то есть не измеримые функции, удовлетворяющие этому условию.

(2) ну вот второе условие должно все поломать

да забыл, еще есть вариант f(x)=0 всюду

f(0*0) = f(0) + f(0), следовательно
f(0) = 0
Далее
f(1*1) = f(1)*f(1)
0 = f(1)*(f(1) - 1)
Следовательно f(1) = 1 или f(1) = 0
Далее
f(1 + 1 + 1 + ... + 1) = f(1) + f(1) + f(1) +...+ f(1) = n * f(1)
f(n) = n*f(1)
Поэтому или f(n) = 0 для любого натурального n либо f(n) = n для любого натурального n.
f(1) = f(1/n + 1/n + ... + 1/n) = n*f(1/n)
f(1/n) = f(1)*1/n для любого натурального n
Поэтому f(1/n) = 0 или f(1/n) = 1/n для любого натурального n
Таким образом мы доказали, что на множестве рациональных чисел есть только две подходящие функции:
1) f(a) = 0,
2) f(a) = a
Покажем, что если a > 0, то f(a) >= 0. Действительно, f(a) = f(b*b) = f^2(b) >= 0, где b - квадратный корень из a. Учитывая, что f(a + b) = f(a) + f(b), получаем отсюда, что функция f монотонна. Две упомянутые выше функции на всю числовую прямую монотонным образом можно продолжить только одним способом. Отсюда вытекает, что решений на всей числовой прямой (включая иррациональныые числа) ровно 2:
1) f(a) = 0,
2) f(a) = a

(4) браво ))

+(5) единственное добавлю, что если f(1)=0, то тут сразу же переходим для x<>0 f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)=0

(4) отлично! для рациональных тоже доказал, а вот дальше, для иррациональных, чё-то не хватило то ли времени, то ли желания,  то ли мозгов :)

(4). Респект. Простое и понятное решение. Я пытался вывести непрерывность f(x) в нуле (это было бы достаточно для доказательства), но так сразу не получилось.

не поленился, записал свои выкладки для рациональных чисел:

1) для произвольного x: для каждого y: f(x+y)=f(x)+f(y)  ==>  для y=0: f(x)=f(x)+f(0)  ==>  f(0)=0

2) для y>0 из N:
f(y*x)=f(x)*f(y)
f(x+.{y раз}.+x)=f(x)+.{y раз}.+f(x)
y*f(x)=f(x)*f(y)  ==> f(y)=y

3) f(-1)=f(1-2)=1+f(-2)=f(2-3)=2+f(-3)
(1-2)=f(-3)-f(-2)
-1=3*f(-1)-2*f(-1)=f(-1)

4) для y<0 из Z
f(y)=f((-1)*|y|)=f(-1)*f(|y|)=-1*|y|=y

5) для произвольных n,m из Z, m!=0:
f(n/m)=f(n)*f(1/m)=n*f(1/m)

умножим обе части на m:
m*f(n/m)=m*n*f(1/m)=n*f(m)*f(1/m)=n*f(m/m)
f(n/m)=n/m

Интересно, что на комплексной плоскости гипотеза (0) неверна:
http://www.ams.org/journals/proc/2002-130-04/S0002-9939-01-06427-9/S0002-9939-01-06427-9.pdf