Решите в натуральных числах уравнение x^y = y^x при x<>y.

З.Ы. Требуется найти все решения и доказать, что других нет.

(0) похоже на теорему Ферма !

(1) с учетом того что до сих пор ищут наибольшее натуральное число, думаю да

Помойму x=1/y

(3) и много таких натуральных?

a^n

х и у степени по одному основнию

2^4 = 4^2 =16

(7) еще?

эээ... (-2)^(-4) = (-4)^(-2) = 1 / 16

а, сорь, натуральных же) больше не могу придумать и доказать)

(nx)^х=x^(nх)

+(11) y=nx

(12) а вот это интересно, но не очевидно

(13) x^(nx)=(nx)^x

так очевиднее?

(13)
Так в (6) же ответ

Хотя не

у/x=k
x^kx=kx^x

(14)(17) я все понимаю, но откуда известно что у делится на х?

(18) У меня нет деления. Есть только умножение
Решений бесконечное множество

Если x=ay, где а рациональное, то после подстановки и х^a=ax, получаем решение
х=а^(1/(1-a))
y=a^(a/(1-a)). Дальше, наверное, нужно заменить а на p/q и посмотреть, что из этого получится

(19) ну вот с чего ты взял, что y=n*x, n- ведь целое?

(21)*Ошибочка х=а^(1/(а-1))

(22) Вопрос из  (0) при каких x и у выполняется равенство x^y = y^x
Ответ при y=nx n<>1

n - целое?на выбор n не накладывает ограничение "Решите в натуральных числах"
X и У должны быть натуральными,
n необязательно,может как быть натуральным так и рациональным

(24) ну так решение будет?

(18) Я ввожу доп. переменную (делаю замену переменных) k=у/х
Кто мне может запретить?

(26) просто рациональное? ну хорошо, жду продолжений

(22)
если не делится  то для х и у =1 не интересно
а для больших 1 очевидно

(28) может кому и да, но большинству здесь, я думаю, неочевидно

любое натуральное число можно разложить на множители

а1*...ан=б1*...бн

y=nx => x^y=x^nx=(x^n)^x = y^x=nx^x => x^n=nx => x^(n-1)=n

понятно что х и у состоят из одних и тех же чисел
причем вхождение пропорционально

т.е . х=а1*...*ан
н=ф1*...*ак

(32) почти понятно, скажем так

(34)
ну а смысл возни?
и так ясно
вроде довольно просто

просто наборы слева и справа должны сойтись
а набирается из множителей

(36) ладно, с тобой неинтересно

х=у^n

отсюда у=2 n=2

х^x^n=x^n^x
логарифмируем по основанию
x^n=n^x

ну типа дважды два = четыре

пришли кстати к тому же )))

(32) и все-таки, почему n Не может быть рациональным?

(42)
по условию

(31) n=2, x=2
При n>2 корень из n степени n-1 меньше двух, значит иррационален.

То есть ответ - решение одно 2 и 4

(45) угу

то есть решения два - n=2 и n=1/2

да х и у должны состоять не просто из одних и тех же множителей
а еще и из адного и тогоже МНОЖИТЕЛЯ
легко доказать от противного
иначе множители слева и справа не сократятся
при х=2 у=4 сходится
дальше степень берет верх над основанием
3 и 9 например
9^3=729
3^9=27^3=19683
чего там ловить?

(47) Если ответы (2,4) и (4,2) - разные, то да :))

(47) то есть у вас получилось-таки дробное решение для n. где гарантия, что "корень степени n-1" не будет рациональным еще для какого-нибудь n<1?

(50) Мы можем ограничить n>1

пусть y>x
если простой делитель p входит в x со степенью n, а в y со степенью m, тогда
n*y = m*x и поэтому n<m
и так для всех простых делителей, значит y делится на x, то есть y=k*x, где k - целое

(52) Скажи, ты считаешь решение наподобие (31) без рассмотрения простых делителей верным? мне кажется, там не доказано, что что x^(n-1)=n не имеет решения в рациональных n отличных от озвученных в ответе?

Кстати, да - доказательство что n целое при условии n>1 (у>x) - элементарно.

(53) да, но этот пункт оставался не доказанным

(53) А то, что 2*2=4 тоже доказывать надо?
пусть N = a/b, где а и b целое, примем Y>X, y=x+m, m - целое и больше 0
y^x=a^x / b^x * x^x = x^y = x^(x+m) = x^x * x^m

a^x / b^x = x^m - целое, значит b=1

Другое решение нашел:
x^y = y^x
ln(x^y) = ln(y^x)
y*ln(x) = x*ln(y)
делим на x*y
ln(x)/x = ln(y)/y
далее рассмотрим функцию F(a)=ln(a)/a (обозначения кривоватые,но не суть важно)
можно график нарисовать - там нагляднее и понятнее.

эта функция при а от 0 до 1 меньше 0, от 1 и до бесконечности - больше нуля.
при этом от 0 до e она возрастает, и от e до бесконечности - убывает.

нам нужно найти такие x и y, при которых F(x) = F(y) при x <> y

Очевидно, что при a от 0 до 1 таких корней нет (функция отрицательная только на этом промежутке, и на нем же она монотонно возрастает).
Зато для любого числа от 1 до е найдется другое число в промежутке от е до бесконечности, что F(x) = F(y)
ну а целое число в этом промежутке одно - это число 2 :)

Остается решить ln(y)/y = ln(2)/2 при y > e... что-то туплю и не могу решить, но так как функция монотонна а этом участке и мы знаем, что решение одно есть, то можно легко численными методами решить