На 2-мерной плоскости 3 окружности радиусами R1, R2 и R3. Каждая из 3-х окружностей соприкасается поверхностью, но не пересекается с 2-мя остальными. Известны координаты центров двух первых окружностей (x1, y1) и (x2, y2). Где может располагаться центр третьей окружности (x3, y3)?

на 2-х мерной плоскости нет поверхностей.. там могут быть только линии???

(1) Садись, два.

(2) а ты кто такой, дядя

(1) Он хотел сказать "касается" - но почему-то для этого выбрал длинную и некорректную фразу.

окружности - плоские фигуры - на плоскости нельзя задать поверхность.. только линии кривые и прямые.. разных порядков.

(6) То есть на листе бумаги нельзя нарисовать три окружности?

(0) В двух местах.

(8)на листе можно нарисовать окружностей скоко угодно, поверхность нельзя нарисовать на листе..

(8) У окружности нет поверхности. У неё даже края нет.

с (4) и (8) согласен 100%.. задача не корректно сформулирована

"На 2-мерной плоскости" - А бывают не 2-мерные?

(13) вроде бы в пространстве плоскость можно задать и она там 3-х мерная

(13) но тогда окружности сферами должны называться )))

(6), (10), (11) Что есть поверхность? Свойство трехмерной фигуры? Тогда да, ошибка. Смысл, впрочем, и так понятен.

(14) Плоскость - она 2-мерная. По определению.

Мне кажется, что задача должна бы выглядеть так:
"На плоскости имеются 3 окружности радиусами R1, R2, R3. Окружности попарно касаются друг друга. Известны координаты центров двух окружностей. Найти координаты точек, которые могут быть центром третьей окружности".

(17) А решается задача исходя из того факта, что радиус окружности перпендикулярен касательной к ней.
Ну а далее - есть треугольник со сторонами R1+R2, R1+R3, R2+R3, заданы две его вершины. Построить третью.

+(9) А точнее в куче мест, описываемых линией, которая перпендикулярна линии, соединяющей центры двух первых окружностей.
А вот для конкретного радиуса третьей окружности вариантов два.

+(19) А, пардон. Все-таки в двух, поскольку радиус третьей окружности известен :))

(20) А варианты, когда окружности вписаны друг в друга?

(21) Хороший нюанс :))

(19)  от 2-го до 6-ти вариантов

построение треугольника про стороне и двум радиусам циркулем?

(23) а почему до 6-ти? до 4-ех вроде ...

+(25) да и если известны координаты центра и радиус, можно ведь определить вписаны окружности  друг в друга. так что имхо: варианта всегда 2 )))

на высоте треугольника?
сторона два первых радиуса ?
причем проходить через точку касания двух первых окружностей?

(21) Есть и такой вариант. Но тогда R1=R2+R2, все три центра лежат на одной прямой.

(26) согласно задаче в (0) от 3-й окружности есть только радиус, соприкасаться они могут либо все в одной точке (2 варианта) либо в разных (еще 4 варианта)

не на биссектриссе )
проходит через точку касания
думать лень конец дня

(29) соприкасаться в одной точке они не могут, так как в таком случае они будут пересекаться. в разных или внутри одной из, или снаружи ... так что по-прежнему придерживаюсь двух возможных вариантов )))

но на глаз видно , что при растяжении и росте одной окружности
меняются углы картинка деформируется
происходит сдвиг угол ползет а биссектриса остается

(29) При любом размещении получается 4 варианта.

(31) Почему не могут? В (0) не пересекаются _окружности_, а не _круги_.

(33) Кроме варианта (28), где два из вариантов "сливаются" в один.

(17) Спс. Правильная формулировка задачи!

если провести линию из третей вершины
в точку касания двух первых окружностей
вроде как биссектриса будет

6 вариантов при (r3 > r2+r1) и (первые окружности не вписаны друг в друга)

(25) Две окружности не вписаны друг в друга. R3>>R1,R2
- 2 окружности с одной окружностью внутри.
- 2 окружности с двумя окружностями внутри
- 2 окружности без вложенности

(37) Биссектриса какого угла?

отсюда при двух первых фиксированных
нужно провести линию под нужным углом из точки касания
на ней и будет лежать

(38) Тогда уж пять.

без картинки тяжко

Если расстояние между точками не равно Р1+Р2, то нигде, иначе в двух местах

при двух равных первых радиусах лежит на высоте
проведенной из точки касания
треугольник равнобедренный
высота совпадает с биссектрисой

(44)
Вру

а дальше по характеру деформации видно
доказать тяжко ... старый уже

Влом считать, но или две точки, или четыре в зависимости от радиусов

Если окружность с радиусом R2 лежит снаружи от окружности R1, тогда и R3 никуда не вписана и выполняются условия(х3-х2)**2+(у3-у2)**2
=(R2+R3)**2;(х3-х1)**2+(у3-у1)**2
=(R1+R3)**2 при подстановке х1,х2,у2 и у1 получаем 2 решения.
Если окружность R2 вписана в R1, то и R3 вписана в r1, а в r2 не вписана.
получаем (х3-х2)**2+(у3-у2)**2
=(R2+R3)**2;(х3-х1)**2+(у3-у1)**2
=(R1-R3)**2. Подставим координаты и получим тоже 2 решения.
А проверить вписана r2 в R1 можно так: ((х1-х2)**2+(у1-у2)**2
=(R2+R1)**2 если r2 снаружи или ...(R1-R2)**2 если внутри.

(49) Если R2 лежит снаружи от R1 - то не факт, что R3 никуда не вписана. В (0) не сказано, что окружности касаются друг друга в разных точках.

(50) вот как раз поэтому она и не вписана, иначе бы они все касались друг друга в одной точке.

+ а это с вашим (17) вообще не стыкуется

(52) Вот это - верно. И ТС формулировку (17) одобрил. Так что - я был не прав.

(53) в (17) "опишите ГМТ точек центров третьей окружности". Ибо мощность их легион

(54( Да как раз не легион - с учётом условий на радиусы и на точки касания.

Так, замечательно Rie, Шапокляк.

Усложняем задачу: 3-мерное пространство, 4 стальных шара радиусами R1, R2, R3 и R4, соприкасающиеся поверхности. Пусть известны координаты 3-х из них и эти 3 соприкасаются каждый с каждым. Выяснить - может ли 4-й соприкасаться с 3-мя остальными? Если да - то какие у него координаты?

(52), (53) Новая задачка подана. Если формулировки плохие - прошу исправить.

(56) че в ней интересного?

(58) ТС книгу (или оперу) пишет