Имя: Пароль:
IT
 
X^2+Y^2=A
, ,
0 1Страх
 
03.10.12
09:25
Имеется уравнение X^2+Y^2=A, где A - целое
Вопросы у меня:
1. При каких целых A это уравнение имеет решение в рациональных числах (то есть X и Y рациональны)?
2. Если при некотором целом A уравнение имеет рациональное решение, то всегда ли оно имеет и целое решение?
1 zak555
 
03.10.12
09:26
это окружность с центром в 0;0 и радиусом SQRT( A )
2 1Страх
 
03.10.12
09:27
(1) годная интерпретация, только как она к решению приближает?
3 Balabass
 
03.10.12
09:27
1с трах? Смело.
4 zak555
 
03.10.12
09:28
> имеет решение в рациональных числах

все решения или хотя бы одно ?
5 1Страх
 
03.10.12
09:29
(4) хотя бы одно, если одно есть, то есть и бесконечность решений
6 makfromkz
 
03.10.12
09:30
(корень(Х))^2+(корень(Y))^2 = X+Y = A
итак А = сумме подкоренных выражений)))
7 1Страх
 
03.10.12
09:31
(6) и к чему это?
8 makfromkz
 
03.10.12
09:31
решение задачи
9 Партизан
 
03.10.12
09:32
А=0
10 zak555
 
03.10.12
09:33
(5) при А = 1

есть пары :
(-1; 0)
(1;  0)
(0; -1)
(0;  1)
11 1Страх
 
03.10.12
09:34
(8) пока далеко, очень
(9) (10) а также при A = 2,5,8,9,10...
12 makfromkz
 
03.10.12
09:35
(корень(3))^2+(корень(5))^2 = 8
где корень(3) и корень(5) - рациональные
13 Андрюха
 
03.10.12
09:35
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
14 1Страх
 
03.10.12
09:35
(12) ерунду не пиши
15 makfromkz
 
03.10.12
09:35
ой, перепутал с действительными, сорри))))
16 1Страх
 
03.10.12
09:35
(13) вспомнить все? ))
17 zak555
 
03.10.12
09:37
x = m1/n1
y = m2/n2

{ (m1 * n2) ^ 2 + (m2 * n1) ^ 2} / (n1 * n2) ^ 2 - должно быть целым
18 1Страх
 
03.10.12
09:53
Ну хорошо, есть рациональные решения для уравнения X^2+Y^2=3?
19 Ayvengo
 
03.10.12
09:56
если округляем, то да :)
20 Zmich
 
03.10.12
10:02
Точно можно сказать, что если А является полным квадратом, то решение существует.
21 Андрюха
 
03.10.12
10:05
(16) это вектор решения твоей задачи
22 Omskdizel
 
03.10.12
10:06
На самом деле минимум, это когда X и Y целые числа. Вот только это не охватывает все возможные X и Y подходящих к решению.
23 1Страх
 
03.10.12
10:08
(21) это очень далеко от решения ))
24 Zmich
 
03.10.12
10:14
(18). Нет решений у такого уравнения. Доказательство тут:
http://hans.math.upenn.edu/~shonkwil/courses/502/502_1.pdf
25 Alexey87
 
03.10.12
10:17
(0)Это уравнение в целых числах, при его решении нужно использовать утверждение, что квадрат целого числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
26 1Страх
 
03.10.12
10:22
(25) в рациональных же сначала
27 Торин
 
03.10.12
10:25
(0)общего решения этой задачи нет, частные решения подбираются перебором. простейшее частное решение - 3, 4, 5. Это так называемые "пифагоровы тройки" (см в википедиии).
28 Торин
 
03.10.12
10:27
вот еще
(6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34),(21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)...
29 gr13
 
03.10.12
10:31
30 Alexey87
 
03.10.12
10:31
(26)А для нахрена?В чем смысл?Зае*етесь решение искать, батенька...
А вот в целых понятно - нужно ограничить перебор, используя (25), например
x*x + y*y = 2012
31 Гобсек
 
03.10.12
10:31
(18)не имеет
Действительно, допустим, что
(a/b)^2 + (c/d)^2 = 3, при некоторых целых a, b, c, d.
Тогда
(ad)^2 + (bc)^2 = 3(bd)^2
n^2 + m^2 = 3*l^2 (2)
при некоторых целых m, n, l.
Допустим, что хотя бы одно из чисел n или m не делится на 3. Пусть это будет для определенности m. Тогда m = 3*k + 1 или m = 3*k - 1 для некоторого целого k. Тогда m^2 = 9*k^2 + 6*k + 1 или m^2 = 9*k^2 - 6*k + 1. То есть квадрат любого числа, не делящегося на 3, дает в остатке 1 при делении на 3. Поэтому  3*l^2 -  m^2 дает в остатке -1 при делении на 3. Однако n^2  = 3*l^2 -  m^2 и как уже указывали, квадрат целого числа n^2 при делении на 3 остаток -1 иметь не может. Получили противоречие.
Следовательно, оба числа m и n должны делиться на 3.
Пусть m = 3*m1 и n = 3*n1
Тогда (3* n1)^2 + (3*m1)^2 = 3*l^2
9(n1^2 + m1^2) = 3*l^2
3(n1^2 + m1^2) = l^2
Поскольку правая часть делится на 3, то l=l1*3 для некоторого l1 и
3(n1^2 + m1^2) = (3*l1)^2
n1^2 + m1^2 = 3*l1^2
Таким образом получаем, что если тройка целых чисел m, n, l удовлетворяет уравнению (2), то каждое из этих чисел делится на 3 и тройка целых чисел m1, n1, l1 опять удовлетворет уравнению (2) где m = 3*m1, n = 3*n1, l=l1*3
В таком случае тройка целых чисел m2, n2, l2 опять удовлетворет уравнению (2) где m1 = 3*m2, n = 3*n2, l=l2*3
Тройка целых чисел m3, n3, l3 опять удовлетворет уравнению (2) где m2 = 3*m3, n2 = 3*n3, l2=l3*3

Но мы не можем целое число делить до бесконечности на 3 и получать все новые и новые тройки чисел. Противоречие.
32 gr13
 
03.10.12
10:33
33 patapum
 
03.10.12
10:35
(20) реши x^2+y^2=49
34 gr13
 
03.10.12
10:36
http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_triangle

вот еще ) все гугл переводчиком умеют пользоваться)?
35 1Страх
 
03.10.12
10:37
(33) (0;7) например ))
36 Zmich
 
03.10.12
10:41
(33). Вот нетривиальное решение:

(28/5)^2 + (21/5)^2 = 49
37 Dmitry77
 
03.10.12
10:54
для А являющегося полным квадратом и А^2 +1 решение в целых числах существуют.
38 Omskdizel
 
03.10.12
11:22
Ребята, я в (0) в упор не вижу ограничения, что из A должен целочисленно извлекаться квадратный корень. Берите ЛЮБЫЕ целые X и Y и вы получите правильный ответ. Другое дело, что судя по (36) есть некое подмножество решений с нецелочисленными X и Y. Как его вычислить мне не ведомо, не математик я :)
39 1Страх
 
03.10.12
11:28
(38) задача не в том, дается заранее A и надо "подобрать" X и Y, не для всех A можно "подобрать"
Выдавать глобальные идеи — это удовольствие; искать сволочные маленькие ошибки — вот настоящая работа. Фредерик Брукс-младший