Двадцать детей — десять мальчиков и десять девочек — встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка — сколько детей стоит слева от нее. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.

ну если они встанут так ММММММММММДДДДДДДДДДД, то  очевидно, что суммы одинаковы, ну а от перестановки мест слагаемых сумма не меняется

Это элементарно, Ватсон.
Перем ситуацию 10-10, а потом показываем, что при любом "обмене соседних детей" ничего не меняется

(1)
апередил

(2)
Останется только доказать, что любое расположение приводится из 10-10 методом "обменом соседних". Что тоже элементарно - это алгоритм сортировки пузырьком

(1) нифига подобного!

ММДДДМ - сумма по 9
ММДДМД - сумма по 10

(5) чо?

(6)
Он прав. Суммы меняются, но остаются равными

(6)
Перестановки ММ->ММ и ДД->ДД - не меняет сумм
Перестановка МД->ДМ - Сумма(М) и Сумма(Д) уменьшаются на 1
Перестановка ДМ->МД - Сумма(М) и Сумма(Д) уведичиваются на 1

НомерМеста от 0 до 9
Для мальчиков x = 1
Для девочек y = -1

нужно доказать что при любом распределении одинакового кол-ва

Сумма(х*ЗанятыйНомер) = Сумма(Y*ЗанятыйНомер)

(7)(8) да я понял, в (1) конечно имелась в виду разница сумм, а не сами суммы... просто цитата :-)

(11) так это и нужно доказать :) это ведь не аксиома а теорема

(12) Индукцией по числу транспозиций в разложении исходной перестановки.

Любая девочка называла число k, любой мальчик называл число l, общее их количество n.
поменяем эту любую Д с этим любым М.
Тогда деовчка станет называть после замены число n-l-1
А мальчик станет выкрикивать n-k-1.
Сумма выкрикиваемая мальчиками измениться на n-k-1-l
Сумма выкрикиваемая девочками очевидно так же изменится на n-l-1-k. Т.е. суммы изменятся одинаково.

Таким образом можно менять любую девочку на любого мальчика