Скинул задачку один друг.
Треугольник АВС равнобедренный, АВ=АС.
Угол kВС = 50.
Угол nСB = 60.
Найти угол Cnk.

Вот картинка:
http://www.imageup.ru/img255/1377354/treugolnik.bmp.html

Вроде в геометрии понимал неплохо, но эту задачку так и не смог побороть. Кто-нибудь сможет решить?

кажется, что просто. Всё дело в точке m, она там не спроста )

(1) тоже поначалу думал, что легко. залип на час, так и не смог решить.

а треугольники mBC и mnk подобны?

(3) нет конечно

(0) нет однозначного ответа

(0)По моему тут чего то не хватает. По таким углам можно любой треугольник АВС построить у которого углы основания >60.

ОТвета нет. Геометрически легко показывается

(7)
Не, сори, на картинку не посмотрел

овтет есть 100%, угол при построении любых равнобедренных прямых будет одинаков, надо искать решение

(9) Сомнительно, что одинаков. При равностороннем треугольнике угол, похоже, будет 0.

(0) чорд. забыл еще одно условие угол ВАС = 20
извиняйте

(11) ипить...

(11) это не сложно посчитать, это не обязательное условие

я пока посчитал

mka - 120
nmk - 70

(9), (13) блин, ну постройте треугольник с углом при основании чуть больше 60 и чуть меньше 90. невооруженным глазом видно, что углы CNK будут разные

(15) опусти верщину А на 3 см ниже, проведи от нее стороны к основанию - получишь пересечение nC  с А1B пусть будет n1, аналогично k1 будет, проведи прямую, и nk будет параллельна n1k1

(16) докажешь?

(16) опусти верщину А на nC, k совпадёт с m, и паралельного точно ничего не будет

(14)
Почему 120?

(18) да погодь, он щас докажет )))

http://hostingkartinok.com/show-image.php?id=25d24231d8ae4f440f6616093cceb1a4

(16)
Опусти вершину на пересечение Cn. Искомый угол будет 0

не, так не подойдет?

я еще не считал, тут принцип

(21), (23) твои познания математики безграничны! А1 еще на столько же вниз опусти

(0)Ответ 20 градусов?

(26) не может

+27 тогда nk = kC

Можно решить через теорему косинусов. И алгебраическим способом путем перенесения задачи в декартову систему координат. Но это не оптимальные и длинные способы.
В лоб выходит 2 переменных, а систему уравнений составить не получается.

(25) и чего изменится если опустить то, тут даже можно сделать без АБ и АС, просто перпендикуляры вверх от основания проведи и получи пересечения

(30) изменится - уменьшится желание делать безосновательные утверждения. если аккуратно нарисуешь.

Ответ Cnk = 10 градусов

(31) ладно сдамся, пятница давит уже со всех сторон

(32) Ага, а nkm тупой...

Угол 30 градусов.

35+
Я его построил и измерил :-)

(35) Это по нашему, по одинэсовски! :-)

У равнобедренных треугольников, что там при пересечении делится пополам.

(37) Не... ну можно сложными путями :)
Но достало думать.

(39) Выложи хоть рисунок, а то у ТС там явно больше 30

(34) а пля... где то не доклал

(11) после такой подсказки задача решается на раз два три... фиии

(42) Давай уже. Выкладывай.

+41 блин, не доклал, а отнял
согласен с (35) ответ 30 градусов

(42) я целый лист изрисовал )))

(42) так сразу понятно что при разных значениях угла А - разные ответы

напишите кто-нить решение

(47) если угол а известен - то там элементарно

(48) ответ давай

(48) угол указан в (11)

(11) ну все, весь кайф испортил)

(49) влом решать. ибо там последовательно все углы узнаются исходя из суммы углов треугольника = 180 градусов

(52) для MNK и ANK известны только углы при А и М

(51) ну найди тогда зависимость искомого угла от А

(52) Продолжи http://www.imageup.ru/img265/1377708/treugolnik.jpg.html

(54) да вот я было начала, а тут такая подсказка)

сумма углов 4х угольника = 360

хотя возможно тут нужно теорему синусов и косинусов применить

Застрял: осталось 4 неизвестных угла: Cnk, knA, nkA и nkB

(59) вроде 4 уравнения с 4 неизвестными

(60) да у меня уравнений гораздо больше с этими неизвестными, целий лист А4, а сократить все равно не получается))

Углы те что на рисунке (55)считаются обычным сложением/ вычетанием (исходя из теорем/аксиом: О сумме углов треугольника, о векторных и смежных углах)
Дальше нужно применить теорему Синусов (приняв основание треугольника равным "а").  И вычислять длину сторон. там все елементарно...

(58) я последовательно нашел, без теорем

Последовательно вычисляем длинны сторон (изходя из того что длина основания треугольника равна "а")
1. Bn
2. Ck
3. Cn (из треугольника CBn)
4. nr (из треугольника Cnk  -теорема косинусов
5. Сам угол Cnk (уже не важно по какой теореме Косинусов или синусов)
6. Наслаждаемся результатом.........

но есть и другой вариант: через систему уравнений....

(63) последовательно неверю что возможно

40 градусов получается.

(66) щас вспомнить не могу как )

для прроверки результатов (не прибегая к построению) можно воспользоватся программой "Самое полное решение треугольников"

+(55) Там еще естественно nmk 70,kmC 110. А дальше я тоже сел. и из всех уравнений у меня получатся только knm+nkm=110 и усе.

+(70) ну и еще разве что An=nC и BC=kC. Но это как то не помогает.

knC = Ank - 30

вспомнил

не, не вспомнил и запутался )))

Ну продолжу приоткрывать завесу: nBm = 30, mCk = 20, Bnm = 40, Ckm = 50. Остаются углы из (59)...

(75) Это все в (55) есть

(59) Они все связаны. Если хоть один найти то там все понятно

kmn=70

(72) откуда такое утверждение?

Дополню немного рисунок из (55)
http://www.imageup.ru/img225/1377878/treugolnik.jpg.html

да хер вы посчитаете..
мысленно сдвинте точку А вверх или низ -- указанные углы останутся теме же, а искомый будет любым.

(81) Да не там можно всякими арктангенсами посчитать тока неинтересно.

(82) не ..

(83)там же в (11) дополнение

(0) чтоб решить эту задачку надо знать только одно правило что сумма всех углов = 180.

а точно нас = 20

(85) ты решил исходя из этого правила?

(82) один из возможных вариантов я уже предложил в (64)

(0) у меня получилось, что решением является решение уравнения 2x"2 -85x +170 = 0. Только я уже забыла как квадратные уравнения решать) Надо срочно заводить детей и отправлять их в школу)

Ща решу

20 градусов

(89) Садись. Два!!!

если ВАС=20 то АВС=ВСА=70.
кВС=50 по условию, тогда ВКС=60.
ВпС=50. Имеем 2 подобных треугольника, у каждого из них 3 угла равны 3 углам другого: 50,60 и 70 градусов.

счас продолжу, (91) сторно, погорячилась :)

(93) вообще-то АВС=ВСА=80

да, пардон, так и есть

И рушится теория подобных треугольников)))

Вообще у нас тут в (80) рисунок, полученный из одного знания того, что сумма углов треугольника и сумма углов на прямой = 180 градусов. А дальше - затык...

счас новую придумаем, долго ли

В общем виде решать влом. По теореме чинусов находим nC. kC равно основанию. По теореме синусов достаем исходный угол из Треугольника nCk

(100)

Применив теорему синусов к треугольникам nmk, kmC, CmB, Bmn, после небольших преобразований получаем соотношение:
sin(70)/sin(30) = (sin(20)+sin(60))/sin(20)*sin(a)/sin(140-a), где a - искомый угол.
Повозившись еще немного, получаем ctg(a) = sqrt(3).

Отсюда угол Cnk = 30.

мое решение

http://www.imageup.ru/img254/1377999/fotografya0010.jpg.html