По кругу расставлены числа 1, 2, ..., N.
За один ход можно взять два любых соседних числа и заменить их на их среднее арифметическое.
При каких N>1 за конечное число ходов можно добиться равенства всех чисел?

вариант раз: н=1
вариант два: н=2

(1) вариант раз не проходит по условиям. а второй подходит. приз в студию!

(1) N>1
N=2 - слишком очевидно, впрочем как и 3 и 4

(1) Вариант раз не отвечает условиям задачи

(3) (4) ладно, ладно. но второй отвечает. а то, что Ненавижу 1С неинтересно сформулировал - изъян Ненавижу 1С

(5) я ВСЕГДА пишу при каких, подразумевая поиск ВСЕХ, пора привыкнуть

(6) я слишком мало тебя читаю, уж извини

интересен случай N=5 и N=8

(8) графически пожалуйста.

() что графически?

может по индукции нужно попробовать. Есть N одинковых чисел, добавили еще одно. Как выровнять

(11) Не, по индукции не пойдет... Не получится у тебя "N одинаковых чисел и еще одно" на наборе N+1

Подозреваю, при N>4 не решается. Осталось найти доказательство.

(13) я тоже к этому склоняюсь
Приблизительный ход доказательства: делим круг на 2 равные части: с одной стороны большие, с другой - маленькие. Далее доказывать, что через границу нельзя протащить сумму достаточную, чтобы выровнять две половинки

(14) осталось понять, что это за сумма

(15) для N = 2K
слева S = (K+1)K/2, справа (3K+1)K/2, разница K^2.
За один шаг через границу можно "пронести" полуразность от граничных значений.

(13) Что значит не решается? За N-1 шагов у нас останется одно число. То есть все числа у нас будут равны.

(17) ты слово "соседних" в условии не пропустил?

>>За один ход можно взять два любых соседних числа и заменить их на их среднее арифметическое

За один ход мы убираем два числа, а записываем одно. То есть общее количество чисел с каждым ходом уменьшается на единицу.

(19) я так понимаю возвращаются всё-таки 2 числа

(19) в твоей интерпретации задача не имеет смысла

(19) сам придумал?

количество чисел ПОСТОЯННО

[2;4]
других нет, инфа 100%

(22) Так поянл условия задачи. Имею право.

(24) С тройкой что не так?

(26) Угу, 2,3 и 4. При бОльших числах система вырождается в две монотонно возрастающие последовательности, у которой правилами из (0) избыток от Большего числа невозможно полностью передать меньшему числу.

+(27) Разумеется это не "строго математическое доказательство"

Рассмотрим последовательность чисел.
A B C, где A<=B;B<=C;A<C.
Легко убедиться, что при любом  количестве операций усреднения, соотношение A<C остается в силе.

(29) чушь какая,
А стоит рядом с С, то первое же усреднение дает А=С

(30) Угу, поэтому решения задачи из (0) и возможны, но при N>4 ветки становятся параллельными и монотонными, типа 2,3,4,4,3,2 и в такой системе усреднение невозможно

Все числа должны быть одинаковыми, и их сумма должно соответствовать изначальной сумме чисел, т.е. сумма равна (1+N)/2*N, значит если все числа одинаковые они равны (1+N)/2
Т.к. последовательность состоит из натуральных чисел дробная часть усредненной серии должна быть равна или 0 или 0,5. из этого следует, что каждое число не должно претерпевать более одного усреднения, получается достаточно найти минимально возможное число чисел, при котором нарушается правило одного усреднения.
Вот, как пример, доказательство более менее строгое

(32) Не, не прокатит...

Писать надоело, кароче доказуемо)

(29) Забыл добавить. Операция усреднения между A и C запрещена. То есть рассматриваем числа не по кругу, а как обычную последовательность чисел.

Это утверждение модно обощить. Пусть есть последовательность A(1),A(2),...A(k). Операция усреднения (A(1)+A(k))/2 запрещена. A(i)<=A(i+1). A(1)<A(k). Такуб последовательность усреднить нельзя.

(31) Я к этому и клоню. Последовательность вида 2,3,4,4,3,2 усреднить нельзя. Рассмотрим двойку в первой позиции и четверку в третьй позиции. Между ними есть два пути:
2,3,4
4,4,3,2,2
Оба эти пути попадают под обощение утверждения в (29).

Осталось доказать, что для N>4 получение "монотонной" последовательности неизбежно.

Информация для размышления: N=6
Из последовательности 1,2,3,4,5,6 всего за один шаг можно получить неусредняемые последовательности:
1,2,3,4,5.5,5.5
3.5,2,3,4,5,3.5

Будем обозначать число:
М - малым, если оно меньше среднего арифметического
Б - большим, если оно больше среднего арифметического
С - средним, если оно равно среднему арифметическому
Первоначальная конфигурация:
ММ...ММББ...ББ - для четных N
ММ...ММСББ...ББ - для нечетных N

Мы будем доказывать, что после очередного хода возможна только конфигурация вида:
ММ...ММ*ББ...ББ*
где звездочкой (*) обозначена последовательность из С-чисел, количеством от 0 до 2.

Первоначальная конфигурация удовлетворяет этому виду. Рассмотрим какие изменения могут произойти после очередного хода:
ММ -> ММ
ББ -> ББ
МБ или БМ -> ММ, ББ, СС
МС или СМ -> ММ
БС или СБ -> ББ
СС -> СС
Таким образом области ММ...ММ, ББ...ББ остаются "непрерывными", а "границы" из чисел С не могут превышать длину 2. То есть всего не может быть больше 2*2=4 чисел С ч.т.д.
Для N>4 "усреднить" все числа нельзя

(37) Убедительно.