На координатной плоскости нарисованы графики квадратных трехчленов со старшими коэффициентами 1. Один из графиков пересекает ось Ох в точках А и М, а ось Оу в точке С. Другой - пересекает ось Ох в точках В и М, а ось Оу в точке Д.
Докажите, что треугольники АОС и ВОД подобны.

A=(a,0) B=(b,0) M=(m,0) C=(0,c) D=(0,d)

Первый трёхчлен (x-a)(x-m), второй (x-b)(x-m)

Подставляем в них x=0, получаем:
am=c, bm=d

Углы AOB и BOD - прямые, а следовательно равны,
CO/DO=c/d=am/bm=a/c=AO/BO => подобие треугольников

(1) взял все и ... решил, а ведь 11 класс московской олимпиады это

Ну не дуйся. Вот тебе в качестве компенсации другая столь же "сложная" (ИЧСХ, помнится, с олимпиады 11 класса) задачка:
Можно ли построить четырёхугольную пирамиду, две противоположные боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания?

(3) Основанием является цилиндр?

Основанием пирамиды? Цилиндр?

(3) можно, но высота, опущеная на плоскость основания будет находтиться вне основания

(3) ну сначала построим трехгранную пирамиду, две боковые грани которой перпендикулярны основанию. Теперь через вершину и основание "срежем" ребро между ними