Решить уравнение:
x^2+y^2+z^2+10^u-1=v^2
где x,y,z,u,v - простые числа
Задача предлагалась для школьников средних классов

справа нечетное, значит слева то же должно быть нечетное.
Слева нечетное возможно только если x или y или z =2
Так как уравнение для них симметрично, то пусть x=2
3+y^2+z^2+10^u=v^2

дальше пока мыслей нет

>>справа нечетное
почему не 2?

(1) если u>2, то не проходим по делимости на 8. 10^u при этом кратно 8. квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1: (2n+1)^2 = 4n(n+1)+1. остаток от деления на 8 левой части равен 5, правой - 1.
т.е. u=2
103 + y^2 + z^2 = v^2

(2) 10^u >= 100...

(4) точно ))

(1) с чего ты решил, что справа нечетное? а если v=2

(6) все понял

а это простые числа между собой могут быть равны? то есть например x=y=2?

(8) почему нет?

1 млн за ТЗ и 3 млн за реализацию

(6) ну это я как бы сразу отмел, т.к. справа 4, а слева как минимум 4 раза по 4. Мне казалось это очевидным чтобы вдаваться

(3) >>>если u>2, то ....10^u при этом кратно 8

Я сломал мозг, можно вернуть пять страниц выкладок?

а...сорри, я что то в упор не видел,ч то там 10^u, видел почему то 10*u

(12) u больше равно 3, значит 10^u делится по крайней мере на 1000...

нашел одно решение
x = 2, u = 2 (это уже доказали),y = 3, z = 3, v = 11

(9) тогда получаем, что правая часть, либо четная, тогда V=2 и в этом случае решений не имеем, либо нечетная. в этом случае x^2+y^2+z^2+10^u-1 тоже нечетная, тогда x^2+y^2+z^2+10^u - четная, x^2+y^2+z^2 - четная. для обеспечения этого условия либо один элемент должен быть четный, либо все три. если все три четные, в таком случае x=y=z=2 и получаем 11+10^u=v^2 - на сколько понимаю - в простых числах это решения не имеет. тогда получаем, что один из эллементов равен 2, пусть это будет x. в этом случае получаем 3+y^2+z^2+10^u=v^2, где y,z,v > 2. и решаем уже этот вариант

(16) см (1)

(17) хм...  ка-то у меня мыслей было больше и подумал, что не совпадет. а тут такой косяк.

+(15) и это все, так как y и z должны делиться на 3. остаток квадрата от деления на 3 либо 0, либо 1. дальше несложно.

(19)
опять куда то делись 5 страниц выкладок. С чего они должны делится на 3, почему остаток от деления квадрата на 3 не равен 2?

(20) (3n плюс или минус 1)^2 = 9n^2 плюс или минус 6n + 1
остаток левой части от деления на 3 равен 1, 2 или 0. 1, только если y^2 и z^2 кратны 3

(21) А, дошло.
Остался еще один нехороший случай x=y=z=2
доказать, что 11+10^u=v^2 не решается в простых числах

Если не рассматривать случай когда u=0, то справа всегда нечетное число
потому что 10^1=10 а простых чисел больше 2 нет
степень 10-ки не меняет четности выражения
значит x^2+y^2+z^2 нечетное
причем сами по себе они четные только, если равны 2
Сумма трех нечетных = нечетное (квадрат четности не меняет)
значит как минимум одно из них равно 2
Например z=2 и это всегда для u>0

если я не поздно пишу и не торможу

(22)или доказать, что 11+10^u не является квадратом натурального числа и простого в частности

(22) прав. но доказывается:
u = 2 просто не подходит, при u >= 3 не проходим по делимости на 8 (слева остаток 3, справа 1)