На шахматной доске расставлены 8 фигур так, что на каждой вертикали и каждой горизонтали расположено ровно по одной фигуре. Докажите, что на черных клетках расположено четное число фигур.

(0) если фигуры поставить по диагонали A8-H1, то на черных клетках будет 0 фигур. Разве 0 считается четным числом?

(1) разве нет?

да, четное

математически не могу доказать, только если на доске показывать. А так решение полюбому тупое с кучей уравнений или неравенств и т.п.

(0) Обозначим клетки шахматной доски 1-1, 3-4 и т.д. Клетка с четной суммой - черная, с нечетной - белая. Так как на каждой вертикали и каждой горизонтали расположено ровно по одной фигуре, среди х координат клеток, на которых стоят фигуры - числа от 1 до 8 по разу, и среди y координат то же самое. Значит, просуммировав вместе x  и y координаты всех клеток, на которых стоят фигуры, получим четное число. Если бы было нечетное число белых и черных клеток, сумма получилась бы нечетная.

(5) быстро в интернете нашел. молодец

(6) ты считаешь, люди только через яндекс задачи решают? гы-гы

(5) контрольный вопрос: почему это неверно для доски 3*3?

(8) там общее число фигур нечетное )))

(7) еще через гугл и мисту

(10) знаешь, некоторые еще и сами думать умеют. ты ее в интернете хоть найди, дай ссылку, а?

Если на каждой линии по одной фигуре, то перестановкой строк или столбцов задача сводится к размещению на диагонали.

А вообще - простой перебор:
1. На первой строке есть только одна фигура (8 положений)
2. На второй строке есть только одна фигура (7 положений, так как нет пересечения с первой).

8. - одно положение, так как все остальные заняты.

Итого 8! вариантов = 40320 - не так уж и много даже для ручного перебора.

(12) При "перестановке линий" происходит изменение цветности у двух линий (если меняем соседние) или нет (если меняем через линию), так что чётность не нарушается.

Задача из Комбинаторики Виленкина :)

Вспомнил еще задачку про шахматы:
"Король обошел доску 8*8, побывав в каждой клетке по разу и вернувшись в исходную точку. Найти максимальную длину пройденного пути"

(16)Upd, (извините, писал по памяти, ниже уточненный текст)
"Король обошел доску 8*8, побывав в каждой клетке по разу и вернувшись в исходную точку, так, что траектория его пути - ломаная без самопересечений . Найти максимальную длину пройденного пути"

(17) "длина пути" короля - это что?