Некоторые степени двойки можно представить в виде сумм факториалов попарно различных чисел:
2^1 = 2 = 2!
2^3 = 8 = 2!+3!
2^5 =32 = 2!+3!+4!
2^7=128 = 2!+3!+5!

А какие еще степени двойки могут быть представлены в таком виде? Бесконечно ли их количество?

т.к. факториал это четное число, то думаю что бесконечное

с девяткой уже не прокатывает

(1) четное и степень двойки больно разные понятия

(3) 2^n=2*2^(n-1)
n!=2*(n-1)!
2*2^(n-1)=2*((m-1)!+(c-1)!+...)
Такое объяснение понятнее?

(+4) для ограничение количеств таких равенств нет предпосылок

(4) n!=2*(n-1)!
это как бы не так совершенно, там так:
n!=n*(n-1)!

(6) ну да, я к тому что 2-ку можно вынести :)

(7) тогда ваш метод должен давать конструктивно следующее значение, ну так дайте его уже

(0) почти наверняка, ряд не бесконечен.
например, предположим, что в ряду присутствует факториал числа, большего или равного 16. Факториал числа, большего или равного 16 делится на 2 в пятнадцатой степени. Значит, сумма более младших факториалов должна также делиться на 2 в пятнадцатой. Скорее всего, это невозможно. Проверяется перебором, но самому делать лень, дарю идею.
если с 16 не работает, можно попробовать ту же идею с 32.

+(9) чтобы обоснование было более строгим, надо упомянуть, что случай когда более младших факториалов нет вообще, невозможен. как минимум должен присутствовать 2!, иначе вся сумма делится на 3, что для степени двойки невозможно.

(8) мои измышления говорят что таких равенств не ограниченное количество, но не дают следующее, потому что закономерности нет

Других нет.

(12) круто, но есть ли доказательство?

(13) У меня есть :)
Я даже знаю откуда задача.

(0) доказательство, длинное и немного сумбурное, зато свое

таблица факториалов и их делимости на степени двойки

2!  = 2         кратно 2
3!  = 6         кратно 2
4!  = 24        кратно 8
5!  = 120       кратно 8
6!  = 720       кратно 16
7!  = 5040      кратно 16
8!  = 40320     кратно 128
9!  = 362880    кратно 128
10! = 3628800   кратно 256
11! = 39912800  кратно 256
12! = 479001600 кратно 1024

1. 2! должен присутствовать, иначе сумма делится на 3.
2. 3! должен присутствовать, иначе сумма не делится на 4. исключение: 2!
3. чтобы сумма делилась на 16, должен присутствовать либо 3!, либо 4! (но только один из них). исключение: 2! + 3!
4. начнем развивать дальше вариант 2! + 3! + 4! = 32. чтобы была делимость на 64, надо добавить 6! и 7!, получаем 5792. оно не степень двойки, и не делится на 128, так что добавлять 8! и старше, делящиеся на 128, не можем по делимости на 128. ветка 2! + 3! + 4! тупиковая.
5. развиваем дальше ветку 2! + 3! + 5! = 128. добавлять 6! и 7! нельзя из-за делимости на 128. чтобы получить делимость на 256, надо добавить либо 8!, либо 9!, но только один из них.
6. развиваем ветку 2! + 3! + 5! + 8! = 40448 = 79*512. чтобы получить делимость на 1024, пробуем добавить 10! и 11!. не получается, тупик.
7. развиваем ветку 2! + 3! + 5! + 9! = 363008 = 79*512. чтобы получить делимость на 1024, пробуем добавить 10! и 11!. не получается, тупик.

(15) Угу.
Вот оригинал:
http://dxdy.ru/topic84406.html

только небольшой косяк в (15)
2! + 3! + 5! + 6! + 7! + 11! + 12! +15! mod (2^15) = 0

(17) и точно, косяк... (0) задачка хорошая!

(15) не мог вникнуть
"3! должен присутствовать, иначе сумма не делится на 4"
беру сумму 4!+5!=144 и чувствую что она как то хорошо делится на 4

(19) а...сорри, дошло. Надо было пояснить, что 2 это уже с учетом 1