99 целых положительных чисел записаны по кругу. Для двух соседних чисел верно хотя бы одно из трех:
1. их разность равна 1
2. их разность равна 2
3. одно из них больше другого в 2 раза

Верно ли, что среди них найдется число, кратное 3?

остатки чередование 1 и 2 противоречие, в линию бы прокатило а по кругу нет

(1) развернуты ответ будет?

(1) Действительно
(2) И не развернутый ответ дает понять что он правильный

(3) 9 класс всероссийской олимпиады

до 98 записываем 1-2-1-2-..., 99м ставим 3.

456456456...456

или надо общее доказательство?

234234

(5) (6) (7) (8)
Если верно - нужно доказательство,
если нет - достаточно контрпримера.

Любые 3 цифры влезают в 99 без остатка, следовательно нужно чтобы было верно любое из утверждений для АБВАБВ
Например 123123...123

(5) 99 чисел видимо для того, чтобы "напугать". Можно было бы написать в условии 99999999 чисел.
А можно написать "3 числа" и ответ "1-2-3" :)

т.е. надо доказать, что невозможно построить последовательность (0) без кратных 3

Похоже что без кратных 3 нет последовательностей..

по-моему в формулировке задачи какая-то ошибка. может имеется ввиду, что числа не должны повторяться?

скажем от 1 до 100

хотя это тоже бредовое условие

Объяснение звучит так:
99 кратно 3, следовательно верно утверждение что достаточно найти 3 числа соответствующие условиям в (0) и не содержащих числа кратного 3
Таких последовательностей нет

а кажется понял. наверное нужно доказать это ДЛЯ ЛЮБОГО набора из 99 чисел.

для любого, удовлетворяющего условию конечно же

(11) 245245245 не подходит разве

(19) для (12)

(19) 5 и 2 не коррелируют

(16) вопрос не про подбор набора чисел.

(21) по 3 условию, как раз подходит

насколько я понял, нужно доказать или опровергнуть утверждение для любого набора, который удовлетворяет условиям задачи.

вы все приводите частные примеры.

(23) 5/2 <>2

(25) точно, не правильно прочитал условие

(24) дык опровергни
В (16) доказательство от обратного

другой вопрос, что доказательство в (1) говорит что утверждение неверно. неверно для любого набора? но подходящие наборы легко подобрать.

(27) вопрос не про поиск набора чисел. я не понял причем тут "достаточно найти 3 числа соответствующие условиям". никто не просит построить нужный набор.

+ к (29) если доказываешь таким образом, то тогда докажи, что все построенные таким образом наборы, это ВСЕ наборы, подходящие под условия задачи.

Предположим такое возможно.
Заменим числа на остатки от деления их на 3.
Подходящие остатки 1 и 2. Ни одно из 3-х правил не позволяет одинаковым (1 и 1 или 2 и 2) стоять рядом. Следовательно они чередуются. Но это невозможно при нечетном количестве - противоречие.

(30) нет, в (5) другая система но все равно в конце последовательность из 3 чисел

(31)
чем плоха последовательность из 33 числел 123 по кругу? вроде подходит и 3 кратно трем?

(33) 3 кратно 3 - тем и не подходит

(33)
+(31) предполагалось естественно, что существует последовательность из чисел не кратных 3

(34) то есть на вопрос "Верно ли, что среди них найдется число, кратное 3?" ответ верно. а то я не понял какое противоречие ищем.

(36) всегда ли верно?

(36) Да. Ответ - верно, иначе получаем противоречие.

(36) верно что среди них ВСЕГДА найдется число кратное 3

(37) (39) Всегда верно

(31) лаконично

(41) в (1) ещё лаконичнее ), но осознал я это только когда написал (31)

(42) да, но не для всех понятно

(43) так это ответ-спойлер чтобы ТС проверил решение и чтобы дать народу самостоятельно порешать)

(4) от оно как

+(45) к (44)

Вдвое большее число для числа имеющего 1 в остатке при делении на три, имеет остаток при делении на три два.
Вдвое большее число для числа имеющего 2 в остатке при делении на три, имеет остаток при делении на три 1.

Пусть числа делящегося на три в круге нет. Получается, что по кругу идет чередование чисел имеющих в остатке 1 и 2. Но 99-нечетное число, и выходит что рядом будут либо два числа имеющие в остатке 1, либо два имеющие остаток 2 при делении на три. Противоречие.

А, увидел (31)

2121......
окнчание
24
245421
248421
24578421 нельзя создать последовательность выкинув 369 удовлетворяющую условиям и содержащую нечетное, число символов. если "0" считаеться положительным то можно

(49) Одна проблема - ноль кратен трем.

Ахринеть. Правильный ответ дан в (1), а никто этого не понимает...

(51) все это понимают, но там скорее намек чем ответ

(51) тут 90% веток такие: ответ в первых постах, а потом срач постов на двести
И наверное не только здесь...

(52) Слишком прямой намек.
Если расписать, получится:
Предположим среди чисел нет числа кратного 3.
рассмотрим первое число. Его остаток от деления на 3 равен 1 или 2

Если 1, тогда к нему можно прибавить 1 или умножить на 2, но нельзя прибавить 2, иначе следующее число будет кратно 3.

Остаток от деления второго числа на 3 равен 2, потому что 1 + 1 = 2, 1 * 2 = 2

Ко второму числу можно прибавить 2 или умножить на 2, но нельзя прибавить 1.

Остаток от деления третьего числа на 3 равен 1, потому что 2 + 2 = 4, 2 * 2 = 4, Остаток(4\3)=1

значит остатки от деления чисел чередуются 1, 2, 1, 2
период чередования = 2, четное число. 99 не четное число. Значит нельзя расположить числа по кругу, потому что первое число и 99-е число будут оба делиться на 3 с одинаковым остатком, а не с чередующимся.

(54) ты бы почитал ветку, например (31)

(55) Да, там то же самое что и в (1) в принципе.