Пусть F(x) - периодическая функция с периодом T, G(x) - периодическая функция с периодом S, причем T/S - рациональное число.
Чему равен период функции F(x)*G(x)?

Пример:
F(x)= sin(x) - 2*pi период
G(x)= cos(x) - 2*pi период
F(x)*G(x) - pi период, странно...

(1) И?.. 2pi - тоже период для cos(x)*sin(x)

(2) имеется ввиду основной (наименьший) период

так тут надо учесть, что и для cos, и для sin pi является так сказать "антипериодом", т.е. просто меняет знак ОБЕИХ функций. Соответственно, при умножении/делении эта смена знака аннулируется.
Т.е., тут дело не в том, что T/S - рациональное, а в свойствах cos и sin

а вот в общем виде, как сформулировано в (0) - "нефак", что мы найдем что-то красивое

(4) если T/S - будет иррациональным, то периода вообще не будет

(1) F(x)= sin(x+пи/2) - 2*pi период
G(x)= cos(x) - 2*pi период
F(x)*G(x) - 2*pi период, странно...

Если T = n*P, S = k*P, то общий период НОК(n,k)*P

+(8)  с учетом (1) не факт, что минимальный. Но для минимального формулы не будет - всегда будут частные случаи типа (1)

(8) это опровергается в (1)

(8) речь не про общий период, а про период произведения
(1): n=2, k=2; период произведения = 1

(9) а хотелось бы ))

(6) "мамой клянусь", из курса математики, или доказал?:) (самому недосук пообдумывать)

(13) "из общих соображений" )))

(12) Не надейся. Зависимость от самих функций, а не только их периодов.
Могу пример привести: две периодические функции дадут в произведении контсанту

(14) значит, "мамой клянусь")

(15) вот и я про то же в (4),(5)

(15) ну, константа - значит периоды равны. Можно специально отбросить этот случай

(15) да, засада...
Может наложить ограничение и рассмотреть только дифференцируемые? но что это даст?
(16) ага

(18) у константы нет основного периода

(20)дык речь о константе, которая получается произведением двух периодических ф-ий. У них - есть.

(16) Т(Ф(х)+С)=Т(Ф(х)), Т((Ф(х)+С)Е(Х))<>Т(Ф(х)Е(Х)), дайте денег

(19) не поможет:
F = 2 + sin(x)
G = 1/(2 + sin(x))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sin(x)*cos(x)%2C+plot+sin(x)%2C+plot+cos(x)

(23) отбрасываем частный случай Т=S - он не интересен)

(25) тогда смотри (8)

(26) снова смотри (3) :)
но да, в общем случае, когда свойствами самих F и G не обусловлена "антипериодичность", то (8) - правильно

(27) тогда вопрос: возможна ли "антипериодичность" при Т<>S&

?

да
F=2+sin(x)
G=1/(2+sin(x))*П, где П периодическая с рациональным периодом
тогда FG=П с произвольным рациональным периодом

а не 2*Pi*НОК(T,S)

(30) здесь как раз  Т=S, а в (28) условие  Т<>S

Таким образом (обозначим W наименьший период F(x)*G(x)):
1. Если T=S, то три варианта:
1.1. если свойствами F и G не обусловлена "антипериодичность" с интервалом P<T, то W = T = S; в противном случае W=P
1.2. G - обратная к F. W не существует (или любое число, как больше нравится).
2. T/S - рациональное. Тогда W=НОК(T,S)
3. T/S - иррациональное. "Мамой клянусь", W не существует

(33) А разве W=T*S не всегда будет периодом? Не важно иррациональное T/S или нет?
Сюда S раз укладывается F(x) и T раз укладывается G(x).

>>  G - обратная к F

Разве в этом случае G - периодическая?

(34) Допустим
f=sin(x) период 2*pi
g=cos(2*pi*x) период 1

по вашему предположению, 2*pi*1 будет периодом f*g
Очевидно, что это не так

Матан решили вспомнить?

Ответ - множество [T,S]. И то, при соизмеримых значениях.

(35) Не забываем: T/S - рациональное число

+(37) А когда это условие не выполняется, тогда да - T*S может и не быть общим периодом

(38) а в (34) ты утверждал обратное, или тебя неправильно поняли?

(38) вообще Т*S будет периодом очень редко, только если T и S целые.
4*pi^2 - не является периодом sin(x)*cos(x)

(37) я отвечал на предположение из (34) где предполагалось, что рациональность не имеет значения. Теперь возьмем рациональные периоды.

Допустим
F=sin(4*pi*x) период T=1/2
G=sin(6*pi*x) период S=1/3
очевидно, что T/S рационально
произведение F*G=(1/2)*[cos(2*pi*x)-cos(10*pi*x)] очевидно имеет период 1, а не T*S=1/6

(0) По теме, ответ не определен, если мы ищем не любой, а минимальный период. Понятно, что периодом будет НОК(T,S) но всегда можно подобрать функции так, что периодом так же будет НОК(T,S)/n где n любое целое число

(42) НОК - определен только для целых чисел

Ну имел в виду приведение
n*T=m*S=НОК[приведенный]

(44) понятно, если это тоже самое, что в (8)
(42) вроде пришли к выводу "ответ не определен" - только если T=S,
если же T/S - рационально, то "НОК" и будет минимальным периодом, доказать это никто не пытался, но контрпримеров тоже не было

(45) Привожу контрпример
F=cos(x) период 2*pi
G=2cos(2x)-1 период pi

Утверждается, что минимальный период F*G будет 2*pi, однако
cos(x)*(2cos(2x)-1)=cos(3*x) с периодом (2/3)*pi

так что вот. В принципе можно подобрать функции так, что периодом будет НОК/n где n любое число. Поэтому мы не можем знать минимальный период, без знания о поведениях функций F и G

(32) с чего бы вдруг?
F=2+sin(x)
G=1/(2+sin(x))*sin(Pi*x)
FG=sin(Pi*x)
периодичности функций 2*Pi, 4*Pi, 2
G=1/(2+sin(x))*sin(S/T*2*Pi*x)
FG=sin(S/T*2*Pi*x)
периодичности 2*Pi, 2*Pi*T/S, T/S

exp(-((x-4)^2+(y-4)^2)^2/1000) + exp(-((x +4)^2+(y+4)^2)^2/1000) + 0.1exp(-((x +4)^2+(y+4)^2)^2)+0.1exp(-((x -4)^2+(y-4)^2)^2)

(47) в твоем примере G=1/(2+sin(x))*sin(Pi*x) - не периодична, наверное, всё-таки вариант с иррациональным отношением периода (F*G) к периоду F не возможен

вопрос из (28) закрыт контрпримером (46)

(49) да, перебор пожалуй...
хотя пример тоже достаточно общий (если периоды с рациональным отношением)
П=sin(3/7*Pi*x),
периоды 2Pi, 14Pi, 7/3Pi