Дана парабола y=x^2.
Рассмотрим окружность с центром (0,y) и фиксированным радиусом R. При этом y>0 настолько велико, что окружность не пересекается с параболой.
Будем уменьшать y (окружность "падает") до тех пор, пока окружность не соприкоснется с параболой. Если окружность соприкоснется с параболой в точке отличной от (0,0), то будем говорить, что окружность "застряла".
Может ли существовать такой радиус R, что окружность не застрянет, а "упадет на дно" параболы?

(0) такого не может быть парабола бесконечна, так как x не может быть конечным -->в любом случае будут пересечения параболы и окружности

(1) то есть любая окружность "застрянет" не добравшись до вершины параболы?

(2)Да. Любая окружность "застрянет".

(1) А ты возьми такой радиус окружности, чтобы окружность былав в "чаше" параболы и подними ее повыше по вертикали. Для примера: возьми окружность радиуса 1 с центром в (0, 10).

(3) мне кажется, это неправда

Тут нужно скакать от определения окружности, и параболы. Может есть связь между радиусом окружности и расстоянием от директриссы параболы до прямой, что из определения параболы...

(0)
http://extreme.com.ua/forum/member-khimik-albums-353-picture2365-parabola.jpg

Оно?
Осторожно , УкроСМИ.

Уравнение окружности
y = r -  (r^2 - x^2)^0.5
Уравнение параболы
y = x^2
Допустим, что окружность не "застряла" при некотором r. Тогда
r -  (r^2 - x^2)^0.5 >= x^2
r - x^2 >= (r^2 - x^2)^0.5
r^2 - 2*x^2 + x^4 >= r^2 - x^2
x^4 - x^2 >=0
x^2(x^2 - 1) >=0
Последнее неверно при x = min(0.5, r/2)

(7) не оно. Парабола y = x^2. При x = 1, y = 1

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Conic_section_-_clean.png

Вполне наглядно видно, что упадет. На конусе хорошо видно, что в точке касания ветви параболы "шире" чем окружность.

http://www.nkj.ru/upload/iblock/021/021d3b83e0e262e950800ae797d206ab.jpg

Хорошая задачка. Имхается мне, что нет.

Хотя в задаче не совсем понятно, свободны радиус и R или нет. Мне не понятно. Буду наблюдать дальше.

А чем (8) не решение?

можно еще через производную посчитать.
У окружности будет меньше в окресности 0, поэтому не может упасть на дно

*14) так там не на чем оканчивается

(13) внимательно читаем (0) - радиус R фиксирован, его нужно найти (если есть конечно)

(16)В (8) показано, что окружность с центром (0,r) и радиусом r пересекается с параболой y=x^2 еще в 2 точках, отличных от (0,0)

(18) мне непонятен вывод и почему оно должно быть верно для любых х?

уже посчитали, что не застрянет при R <= 0,5 ?

(20) бинго

(9) ну и? Парабола y = x^2. При x = 1, y = 1.... А при х=0, у=0. Почему не оно?

(22) на картинке у параболы при x = 1, y = 0.5

Исправление (8)
Уравнение окружности
y = r -  (r^2 - x^2)^0.5
Уравнение параболы
y = x^2
Допустим, что окружность не "застряла" при некотором r. Тогда
r -  (r^2 - x^2)^0.5 >= x^2
r - x^2 >= (r^2 - x^2)^0.5
r^2 - 2*x^2*r^2 + x^4 >= r^2 - x^2
x^4 + x^2 - 2*x^2*r^2>=0
x^2(x^2 + 1 - 2*x^2*r^2) >=0
x^2(x^2 + 1 - 2*x^2*r^2) >=0
Если r <= 1/2^0.25, то последнее неравенство будет выполняться
Поэтому окружность "упадет" при r <= 1/2^0.25

(23) ну так то да, картинка не по условию. Я имел ввиду решение задачи при таком положении окружности, с пересечением с параболой в точке (0,0)

(24) ну вот теперь "почти" верно, радиус какой-то подозрительный у тебя получился
правильный ответ в (20)

(24) Ошибка в преобразованиях. Окончательное неравенство: 2R-1<=x^2. Откуда R<=0.5.

y = x^2
y = R - sqrt(R^2 -x^2)

решая, получаем 3 точки с ординатами:
0, sqrt(2R-1) и -sqrt(2R-1);
при R <= 0,5
остается только 1 точка (0;0)

(28) с абсциссами конечно

По другому: кривизна параболы в 0 = 2, радиус кривизны = 1/2.
Окружность падает до дна, если ее радиус меньше радиуса кривизны параболы.
Интересно, это так в случае произвольной (выпуклой) кривой?

(30)+ Надо думать - нет.

(0) Парабола и окружность - частный случай эллипса.
Мне кажется что окружность перестанет застревать если ее фокус достигнет фокуса параболы. В данном случае фокус окружности - это ее центр.