Имя: Пароль:
IT
 
Решений уравнения нет
,
0 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
10:33
Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах:

x^2-3*y^2=1000
1 Chum
 
21.05.15
10:33
Зачем?
2 1С_Fitness
 
21.05.15
10:42
(0) я тебе даже больше скажу, тут два неизвестных, как доказывать собираешься?
3 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
10:45
(2) я уже доказал
4 Asmody
 
21.05.15
10:47
y = sqrt(x^2-1000)/sqrt(3)
5 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
10:48
(4) ну ты ваще )))
6 Новый участник
 
21.05.15
10:51
(4) Корень из 3,конечно, трансцен (как там оно пишется) короче, не представимо в виде дроби целых чисел. Но и 1000 - влияет, т.к. при замене 1000 на, например, 1 или 11 - имеет решения.
7 Анцеранана
 
21.05.15
10:51
(1) Это ж друг fixina, он и теорему Ферма докажет если надо))
8 zak555
 
21.05.15
10:52
пара (10;0) не решение ?
9 zak555
 
21.05.15
10:52
там 1000, чёрт
10 Новый участник
 
21.05.15
10:52
(8) 100<>1000
11 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
10:53
(7) забирай слова обратно, я вашего фиксина в глаза не видел
12 toypaul
 
гуру
21.05.15
10:55
сумма цифр в x^2-1000 должна делиться на 3 :)
13 Новый участник
 
21.05.15
10:57
(12) Зачем? 1024-1000 делится, но к (0) не подходит.
14 HeKrendel
 
21.05.15
11:01
(13) Он забыл про корень ;)
15 zak555
 
21.05.15
11:06
доказывается по аналогии для управления

x^2 = 1000 + y^2
16 zak555
 
21.05.15
11:07
одна парабола направлена вверх

а другая вбок, отстающая на 1000 единиц =)
17 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:08
(15) твое уравнение имеет 16 целых решений
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%3D+1000+%2B+y%5E2
18 1С_Fitness
 
21.05.15
11:09
(0) выкладывай доказательство
19 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:09
(18) может сначала подсказку?
20 DirecTwiX
 
21.05.15
11:12
Посмотреть на остатки от деления на 10 у х^2 и 3y^2. Оттуда видно, что Х и У могут оканчиваться только на 5. Далее взглянуть на
X=sqrt(1000+3y^2)
и понять, что в целых числах решения нет.
21 1С_Fitness
 
21.05.15
11:12
там типа комбинаториторика, приближение
22 1С_Fitness
 
21.05.15
11:13
(20) для меня не факт
23 lucifer
 
21.05.15
11:13
(0) помоему любое уравнение которое просит доказать что не оно имеет решений в чем-то недоказуема или очень сложно доказуемо, та же теорема ферма. Ведь чисел бесконечное множество и всегда можно сказать, типа не все варианты проверены
24 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:14
(23) это неверный вывод
не смотря, что чисел бесконечно, определенных признаков у них может быть конечное число
25 Кай066
 
21.05.15
11:15
(23) Ты брутфорсом уравнения решаешь?
26 Timon1405
 
21.05.15
11:16
(19) остатки по какому-нибудь модулю?)
27 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:17
(26) верно
28 Timon1405
 
21.05.15
11:20
(27) по модулю 2 получается только что оба четные, и (x=2*x1, y=2*y1)приходим к уравнению x1^2-3y1^2=250 дальше чето не идет)
29 DirecTwiX
 
21.05.15
11:20
(20) Вместо взглянуть, можно взять
x=10*m+5
y=10*n+5
Подставить в исходное уравнение, поделить на 100 и получить:
m^2-3n^2+m-3n=9.5

m и n - целые. Значит уравнение не имеет решений.
30 1С_Fitness
 
21.05.15
11:20
(20) чтобы такой корень извлёкся должно получиться 4у^2, 6у^2, 1000 не дает четной степени или степени 1/2н , поэтому и нет целого решения
31 DirecTwiX
 
21.05.15
11:22
(30) Не понял
32 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:22
(29) а почему именно остатки 5 от деления на 10? разве 0 не может быть в остатке?
33 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:23
(29) вообще в таких случаях обычно берут простые числа
34 1С_Fitness
 
21.05.15
11:25
(31) вернее так. коээфициент 3 перед у^2  нужно уравновесить, чтобы число вышло из под корня , 1000 никаких корней четных не дает , поэтому целых решений нет
35 DirecTwiX
 
21.05.15
11:30
(32) Да, про 0 забыл, но, подозреваю, там всё аналогично.
x | x^2 mod 10 | 3x^2 mod 10
0 | 0 | 0
1 | 1 | 3
2 | 4 | 2
3 | 9 | 7
4 | 6 | 8
5 | 5 | 5
6 | 6 | 8
7 | 9 | 7
8 | 4 | 2
9 | 1 | 3
36 Timon1405
 
21.05.15
11:31
(33) Ясно, второй модуль -5ка)
Получается
1) Квадрат по модулю 2 дает 0 или 1 по модулю 4, (-3*квадратЧисла) дает 0 или 1 по модулю 4, значит оба четные, сокращаем на 4 получаем x*x-3*y*y=250
2) Квадрат по модулю 5 дает 0 или +-1 по модулю 4, (-3*квадратЧисла) дает 0 или +-3 по модулю 4, их сумма будет равна 0 только когда оба делятся на 5 сокращаем на 25, получаем x*x-3*y*y=10
3) повторяем рассуждения по модулю 5, получается что и х и у кратны 5, значит левая часть делится на 25, противоречие
37 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:32
(36) "значит оба четные" - уже неверно 1-1=0
38 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
11:33
(36) практически решение, только достаточно брать по модулю 5 и все
39 Timon1405
 
21.05.15
11:34
(37) там будем 1-3*1 = -2, а 2!=0
40 Timon1405
 
21.05.15
11:34
если оба нечетные, то слева будет 2 по модулю 4 короче, но это и вправду лишнее
41 DirecTwiX
 
21.05.15
11:43
(33) (38) Если брать 5, то непонятно, что Х и У должны оканчиваться на одну цифры. С 10 понятно.
42 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
12:54
(41) если брать 5, то понятно, что оба делятся на 5
43 DirecTwiX
 
21.05.15
13:40
(42) То же самое и с 10 -.-
44 Ненавижу 1С
 
гуру
21.05.15
14:21
(43) да понятно, что и 15 можно, просто с составным число вариантов остатков растет
45 DomovoiAtakue
 
22.05.15
14:10
(0)Выражаем y (или |y|), получаем ограничение x^2<=1000, 1<=x<=31. Воспользуемся методом перебора. В итоге уравнение решений не имеет в целых числах. (вкратце)
46 Ненавижу 1С
 
гуру
22.05.15
14:24
(45) непонятно почему x^2<=1000, скорее наоборот x^2>=1000
47 AlexITGround
 
22.05.15
14:33
Формулу окружности помните?
48 Desna
 
22.05.15
14:36
(47) самое главное что в 1с она очень мало кому нужна
49 DomovoiAtakue
 
22.05.15
14:38
(46)Точно) Блин
50 georgebgk
 
22.05.15
15:05
Предположим, искомые x и y существуют.
x^2 имеет при делении на 10 может иметь остаток из множества  {0, 1, 4, 5, 6, 9}. 3*y^2 при делении на 10 может иметь остаток {0, 2, 3, 5, 7, 8}. Чтобы уравнение имело целые решения, необходимо, чтобы x^2 и 3*y^2 имели одинаковый остаток от деления на 10. Значит, остаток от деления на 10 принадлежит множеству {0, 5} и x и y можно представить как x=5n и y= 5m с целыми m и n. Подставляя в уравнение, получаем n^2 - 3*m^2 = 40.
Проведя аналогичные рассуждения для m = 5k и n = 5l с целыми k и l, получим уравнение  k^2 - 3*l^2 = 1.6. Справа не целое число, значит исходное предположение неверно и целых x и y не существует.
51 DomovoiAtakue
 
22.05.15
15:14
(50)А почему такие остатки?
52 SUA
 
22.05.15
15:15
(51)это сложно и поймет не каждый... метод называется перебор от 0 до 9
53 DomovoiAtakue
 
22.05.15
15:25
(50)"x и y можно представить как x=5n и y= 5m с целыми m и n" - почему это верно?
54 georgebgk
 
22.05.15
15:28
(53) Остаток от деления на 10 равен 5 или 0, значит либо x=10*a+5 = 5*(2a+1) с целым a, либо y=10*b = 5*(2b) с целым b.
55 DomovoiAtakue
 
22.05.15
15:28
точно)
56 DomovoiAtakue
 
22.05.15
15:29
А если б с делением на 10 не проканало, то чтоб тогда делали?
57 DomovoiAtakue
 
22.05.15
15:30
+(56)Или по-другому, почему выбрано деление на 10?
58 georgebgk
 
22.05.15
15:47
(56) Да на здоровье:
Предположим, искомые x и y существуют.
x^2 имеет при делении на 5 может иметь остаток из множества  {0, 1, 4}. 3*y^2 при делении на 5 может иметь остаток {0, 2, 3}. Чтобы уравнение имело целые решения, необходимо, чтобы x^2 и 3*y^2 имели одинаковый остаток от деления на 5. Значит, остаток от деления на 5 принадлежит пересечению множеств {0, 1, 4} и {0, 2, 3}, т.е. {0} - оба числа кратны 5. Значит, x и y можно представить как x=5n и y= 5m с целыми m и n. Подставляя в уравнение, получаем n^2 - 3*m^2 = 40.
Проведя аналогичные рассуждения для m = 5k и n = 5l с целыми k и l, получим уравнение  k^2 - 3*l^2 = 1.6. Справа не целое число, значит исходное предположение неверно и целых x и y не существует.
59 СвинТуз
 
22.05.15
16:20
квадраты целых заканчиваются на
0,1,4,5,6,9
квадраты*3 последнее число
0,2,3,5,7,8
сумма последних чисел =0
комбинаторика
остаются
1. 0,5
2. 0,5
остальные не имеют пар
=> х и у делятся на 5
их квадраты на 25
выносим и делим
переопределяя х1=х*5; у1=у*5;
получаем
х1*х1-3*у1*у1=40
где х1 и у1 целые ...
рекурсия ...
но теперь на 25 нацело не поделишь ...
60 СвинТуз
 
22.05.15
16:23
фишка в том, что с одной стороны квадраты , а с другой кубы
61 DirecTwiX
 
24.05.15
20:03
(50) (59) См. (33) :)
Я не хочу быть самым богатым человеком на кладбище. Засыпать с чувством, что за день я сделал какую-нибудь потрясающую вещь — вот что меня интересует. Стив Джобс