Исходные данные:
платформа 8.3 релиз 8.3.5.1443
Файловая база

для определения места выполнения кода была сделана следующая вставка:
Сообщение = Новый СообщениеПользователю;
#Если Клиент  Тогда
    ТекстСообщения = "Клиент";
#ИначеЕсли Сервер  Тогда
    ТекстСообщения = "Сервер";
#ИначеЕсли ВебКлиент Тогда
    ТекстСообщения = "Веб";
#ИначеЕсли ВнешнееСоединение Тогда
    ТекстСообщения = "ВнешнееСоединение";
#Иначе
    ТекстСообщения = "В неизвестности";
#КонецЕсли    

Сообщение.Текст = ТекстСообщения;
Сообщение.Сообщить();
Выдает сообщение в неизвестности.

Вопрос - это где?

попробуй заменить Клиент на НаКлиенте

Еще парочку можно проверить:
#Если ТолстыйКлиентОбычноеПриложение Тогда
#Если ТолстыйКлиентУправляемоеПриложение Тогда
#Если ТонкийКлиент Тогда

Никакого эффекта. В неизвестности и всё тут.

вот тут https://infostart.ru/public/198264/ всё варианты

попробуй
Функция КонтекстВыполненияТочноНеКлиент()
   Результат = Неопределено;
   Попытка
      А = РежимДиалогаВопрос.ОК;
      Результат = Ложь;
   Исключение
      Результат = Истина;
   КонецПопытки
   Возврат Результат;
КонецЙункции

(5) это то понятно, мне суть неясна происходящего.

Хотя, учитывая то, что этот код в событии конвертации данных, не исключено, что какая то особенность метода выполнить.

(9) Кто ж такую информацию раньше 100 поста выкладывает?

(10) а чего народ томить то )

Ограничений, кстати, к методу Выполнить никаких нет на подобную тему