Найти все функции f, которые удовлетворяют равенству при любых вещественных x,y:

f(x+f(x+y))+f(x*y)=x+f(x+y)+y*f(x)

Функция определена на всех вещественных числах, ее значения тоже вещественны.

f(x)=x

f(x)=x

Подставить (0,0), (x,0), (0,y)

(0) ну вот зачем тебе этот лютый капецкий капец?  :)

(1)(2) это единственное решение?

f(x) = 0

хотя не пойдет

(4) Ну да. Подставить (x, 0) и увидеть, что f(t) = t.

(7) не видно там ничего

(7) Хотя не.

народ, я ща обращаюсь чисто к читателям ветки, одному мне нифига не понятно? ...один я тут тупой?
в решении f(x)=x - х - это тот который в (0) или тупо уже готовый аргумент функции ?

(10) Читай так f(x) - функция умножения на единицу
f(x) = 1*x

(3) Потому что в 1С нельзя писать шейдеры, а подумать над чем-то сложнее, чем " select * from Справочник.Контрагенты ГДЕ Наименование="ВАСЯ"  " хочется.

(4)Раз спрашиваешь значит нет )

(4) Да. Подставляем (0, y), берём производную. Видим, что она константа. Пробуем c*x и понимаем, что только x подходит.

(11) я не об этом, я вот о чеи:
f(x+y) = f(t)=t?

(15) Что это?)

(15) Если t=x+y и f(x)=x, то это верное равенство)

(14) какую производную? кто сказал, что она вообще существует?

(16) еще раз, себя цитирую "решении f(x)=x - х - это тот который в (0) " ?

(19) здесь все x и y формальные переменные, это же уравнение относительно f - функциональное уравнение

x=0, y=0
f(0+f(0+0))+f(0*0)=0+f(0+0)+0*f(0)
f(f(0)) + f(0) = f(0)
f(f(0)) = 0

(20) Для всех функций f выполняется равенство f(x*y)=y*f(x) ?

(22) с чего бы

(21) хорошее начало, продолжай

0, y
f(0+f(0+y))+f(0*y)=0+f(0+y)+y*f(0)
f(f(y)) + f(0) = f(y) + y*f(0)
f(f(y)) - f(y) = f(0)*(y-1)

x, 0
f(x+f(x+0))+f(x*0)=x+f(x+0)+0*f(x)
f(x+f(x)) + f(0) = x + f(x)
отсюда
x + f(x) = z
f(z) = z - f(0)

f(x) = x - f(0)
f(f(0)) = 0

отсюда f(0) = 0 и f(x) = x

(27) стоп, стоп

во-первых то что верно для z: f(z) = z - f(0)
еще необязательно верно для любого x

во-вторых из  f(f(0)) = 0  не следует f(0) = 0

(27) из  
f(x) = x - f(0) и f(f(0)) = 0
следует
f(0) = 0

Пусть f(0)=t не равное нулю
Тогда f(t) = 0 тк f(f(x)) = 0
Рассмотрим f(f(t))
С одной стороны оно равно нулю, но сдругой стороны оно равно f(0) и не равно нулю. Противоречие. Значит t=0.

(29) вернее даже так
f(x) = x - f(0)
f(0) = 0 -f(0)
f(0) = -f(0)
2f(0) = 0
f(0) = 0

т.е. достаточно просто (26)

нужно только показать что z принимает любое значение из R.
но это уже не интересно

(18) По у, разумеется.
..на тех участках, где f дифференцируема :)

Если доказать, что f-дифференцируема, тебя устроит?) Кусочно-дифференцируема?)

(33) Да это уже давно известно) Осталось (4)

Нагнал. f'(f(y)) <> 0

(34) ну докажи, пока использование производных нелвозможно

я все порешал... 1с рклИт :)
перем  x,y;
Функция f(z)
    y = 0;
    return x;
КонецФункции
Процедура Проверить()
    Для i=1 по 100 Цикл
        Для j=1 по 100 Цикл
            x = i;
            y = j;
            слева = f(x+f(x+y)) + f(x*y);
            справа = x + f(x+y) + y*f(x);
            Сообщить("слева= " + слева +" справа= " + справа);
        КонецЦикла;    
    КонецЦикла;
КонецПроцедуры

(38) Функция, абсурдна :)

(39) да! но дает 100%-ный результат :)

(35) Это и было доказательство единственности

Допустим, есть две функции f и g, которые удовлетворяют (0). Тогда их сумма/разность тоже удовлетворяют (0). Но 2*x не удовлетворяет (0). Следовательно, предположение ложно. Чтд.

(41) Да, не улоыил суть. Тогда интересно услышать доказательство того, что z принимает любые из R значения.

(40) Это не результат, а подтасовка

(43) а это предлагаю тебе сделать )))

(45) Мне представляется это невозможным, т.к. f может быть разрывной.

(41) нельзя z заменять на все х. В этом коренная ошибка

(12) так можно ж решать алгоритмические задачки всякие, а это математика какая-то, я вот то ж не понимаю нах. Ну если только (0) тащится от этого

Если x=y=0 то f(f(0))=0
Пусть z=f(0) => f(z)=0
Если x=0, y=z то z+z = z^2
Из чего следует, что:
Случай 1. z=0
Случай 2. z=2

И оба варианта реализуются

(49) в общем два решения6
x
2-x

проще решать подставляя y=1
f(x+f(x+1)) = x+f(x+1)
первое решение очевидно,
второй вариант x+f(x+1) = с
подставляя находи константу c