Имя: Пароль:
IT
 
Сумма четырех натуральных чисел делится на каждое из них
0 Ненавижу 1С
 
гуру
17.08.15
16:00
Сумма четырех натуральных чисел делится на каждое из них.
Конечно или бесконечно количество таких наборов?

З.Ы. Четверка чисел не должна иметь общего делителя, отличного от 1.
1 Armando
 
17.08.15
16:11
3 + 5 + 7 + 11 = 26
2 Ненавижу 1С
 
гуру
17.08.15
16:12
(1) и на что из них делится 26?
3 Lama12
 
17.08.15
16:13
(0)Меня смущают условия. Сумма 4 числе, делятся на каждое из них. И при этом не должны иметь общего делителя? Вроде тут противоречия.
4 Ненавижу 1С
 
гуру
17.08.15
16:15
(3) почему противоречие? для затравки четверка (5, 2, 2, 1)
5 Lama12
 
17.08.15
16:16
(4) Так 2 повторяются. Т.е. у двух чисел общий делитель.
6 Lama12
 
17.08.15
16:18
или имеется ввиду что сразу у всех 4 не должно быть общего делителя?
7 Бледно Золотистый
 
17.08.15
16:19
(5) Тут смысл, что одну четверку нельзя получать из другой умножением на число.
8 Ненавижу 1С
 
гуру
17.08.15
16:19
(6) у всех четырех, иначе бесконечное число четверок будет. Находим одну и умножаем ее на произвольное число
9 Попытка1С
 
17.08.15
16:19
1 + 2 + 3 + 6 = 12
10 18_plus
 
17.08.15
16:24
(9) 2,3,6 - общий делитель есть
11 Попытка1С
 
17.08.15
16:25
(10) И какой же?
12 patapum
 
17.08.15
16:25
1,3,4,4
1,4,5,10
13 Попытка1С
 
17.08.15
16:25
И надо чтобы общего не было у всех четырех чисел.
14 patapum
 
17.08.15
16:28
2,3,10,15
кто больше? )))
15 grigo
 
17.08.15
16:28
1+2+3+6 = 12. Классика
16 18_plus
 
17.08.15
16:28
(13) если речь про все 4, тогда да.
17 Armando
 
17.08.15
16:29
(2) "Сумма четырех натуральных чисел делится на каждое из них."
Я подумал, что это утверждение))
18 18_plus
 
17.08.15
16:29
только тогда ставим первую единицу и получаем бесконечный набор чисел:
1 + 10000000000+ 1000000000000000 + 100000000000000000
19 18_plus
 
17.08.15
16:30
ой, я тормоз...
20 Попытка1С
 
17.08.15
16:30
(16) Какой общий делитель у 2 3 6 кроме 1?
21 mogul
 
17.08.15
16:36
5 7 17 29
13 15 29 57
22 Бледно Золотистый
 
17.08.15
16:38
Найти то не проблема пару штук, ответить надо про бесконечность наборов.
23 patapum
 
17.08.15
16:38
(21)
в первом не делится на 17
во втором на 13 и 15
24 patapum
 
17.08.15
16:39
(22) отвечу - конечное число! доказать пока не могу, но этого задание не требовало! )))
25 mogul
 
17.08.15
16:40
упс, неверно условия прочитал
26 bolobol
 
17.08.15
16:52
По-ходу, именно этим доказательством занимается 1С во время проведения документов. Так сказать "заодно". Это всё объясняет)
27 Ненавижу 1С
 
гуру
17.08.15
17:08
Ну давайте упростим и пока рассмотрим аналогичные тройки чисел
28 mogul
 
17.08.15
17:24
Пусть n - наибольшее из этих чисел, а x1, x2, x3 - оставшиеся. Тогда возможны два варианта:

1) x1 + x2 + x3 = n
и
2) x1 + x2 + x3 = 2n

В случае 1) дополнительно должно выполняться что
a1 * x1 = 2n, a2 * x2 = 2n, a3 * x3 = 2n, где a1, a2, a3 - целые.
Также можно написать, что для любой пары
n = x * a / 2.
Если а - четное, то n и х - не взаимно просты, т.е. этого быть не может, т.о. все наши a - нечетные.
Тогда что бы n было целым, четным должен быть каждый из x, что невозможно.

Т.о., для x1 + x2 + x3 = n решений нет вообще.
29 bolobol
 
17.08.15
17:38
(28) 1) и 2) - вообще не понял, почему "возможны два варианта". Два нуля и Н = Н - это минимум. Н-2 + Н-1 + Н = 3*Н-3 - это максимум. Причём, ещё нужно очевидное доказать, что недостижимый максимум при Н >3.
30 mogul
 
17.08.15
17:39
В случае 2) дополнительно должно выполняться что
a1 * x1 = 3n, a2 * x2 = 3n, a3 * x3 = 3n, где a1, a2, a3 - целые.
Также можно написать, что для любой пары
n = x * a / 3.
x на 3 нацело делиться не может, т.е. на 3 должно делиться каждое из a.
Тогда
3*A1*x = 3n
A1*x = n;
x не может быть четным, иначе у него будет общий делитель с n.
Но и сумма трех нечетных x не может быть четным числом, так что равенство x1 + x2 + x3 = 2n невозможно.
Итого, решений нет и в этом случае.
31 bolobol
 
17.08.15
17:40
1+2+3 = 6
32 Тюря
 
17.08.15
17:41
яндекс все знает
http://znanija.com/task/7784432
33 bolobol
 
17.08.15
17:42
(32) Тоже мимо - общий делитель 2.
34 mogul
 
17.08.15
17:49
(29) Пусть N = сумма n + x1 + x2 + x3.
N должно нацело делиться на n: N = Bn.
Пусть B больше трех, например, 4. тогда
4n = n + x1 + x2 + x3, или
3n = x1 + x2 + x3 (**).
Но у нас n - большее из всех слагаемых, так что (**) - невозможно.
Итого остаются два предложенных мной варианта.
35 mogul
 
17.08.15
17:52
(32) условие про взаимную простоту слагаемых все усложняет.
36 bolobol
 
17.08.15
17:55
(34) Если сие выше было про четвёрку чисел, то почему везде решений нет-то?
37 mogul
 
17.08.15
17:57
В (34) приведено обоснование того, что есть только два варианта:
1) x1 + x2 + x3 = n
и
2) x1 + x2 + x3 = 2n

Для каждого из этих вариантов доказано (ну, вроде бы доказано, проверяйте), отсутствие решения.

Итого, решения нет вообще.
38 bolobol
 
17.08.15
17:58
(37) Да как доказано, если в (3) ответ дан - 5 + 2 + 2 + 1
39 bolobol
 
17.08.15
17:59
(37) Как раз случай, где 2Н
Для Н= 4 - решений нет, значит - не растущая разница, но не значит, что конечная.
40 mogul
 
17.08.15
17:59
(38), см. условие про взаимную простоту слагаемых.
2 и 2 - это не взаимно простые числа.
41 mogul
 
17.08.15
18:00
(39) Чо?!
42 bolobol
 
17.08.15
18:00
(40) Не было условия про "взаимную" простоту. Читайте условие внимательнее.
43 bolobol
 
17.08.15
18:01
(41) Не "Чо?", а "Што?"!
Не значит, что конечно множество наборов.
44 mogul
 
17.08.15
18:01
(42) см. у топикстартера:

"З.Ы. Четверка чисел не должна иметь общего делителя, отличного от 1."
45 mogul
 
17.08.15
18:03
(43) да успокойся уже. 0 таких наборов, 0 - число конечное.
46 bolobol
 
17.08.15
18:09
(45) Я то спокоен. Спокойным и был. Была лёгкая эйфория от простоты вашего доказательства ограничений на набор данных. При этом, для 3Н - нет такой выкладки. Для 1, для 2, для 4 есть, а с 3 что?

(44) - это я вам рекомендовал ТС-а перечитать. Какие мне, прикажете, делать выводы, если не читая, вы его мне же и цитируете?
47 bolobol
 
17.08.15
18:36
3Н = Н + н1 + н2 + н3
3Н = Ан1 (1, 2, 3)
3Н = Бн2 (1, 2, 3)
3Н = Вн3 (1, 2)

Итого, без преувеличения можно заключить - что перестановки возможных множителей - это и показатель конечности наборов.
48 bolobol
 
17.08.15
18:41
Чушь, конечно. Попутался я в равенстве максимальному... Блин.
49 mogul
 
17.08.15
19:22
На самом деле, решение о том, что задача решения не имеет, еще проще.
Пусть x - самое маленькое из исходных чисел.
Докажем, что для натурального x произведение его и еще трех больших чисел всегда больше их суммы:
произведение будет равно как минимум
x * (x + 1)* (x + 2)* (x + 3), или, развернув, x4 + 5x3 + 6x2 + x2 + 5x + 6.
Сумма — 4x + 6.
Очевидно, что
x4 + 5x3 + 6x2 + x2 + 5x + 6 > 4x + 6, или
x4 + 5x3 + 7x2 + x > 0
при любом x > 0.
Можно заменить x * (x + 1)* (x + 2)* (x + 3) на x * (x + a)* (x + b)* (x + c), суть не изменится.
50 RomanYS
 
17.08.15
20:13
(49) причем здесь произведение? Что значит "решения не имеет" - здесь уже приводились корректные примеры и для трех и для четырех чисел:
1,1,1
1,1,2
1,2,3
1,1,1,1
1,1,1,3
1,1,2,2
1,2,2,5
...
51 mogul
 
17.08.15
20:21
(50)
1*1*1 = 1+1+1
1+2+2+5 = 1*2*2*5
так чтоль?
52 mogul
 
17.08.15
20:23
тьфу блин, сам пишу уже не пойми что...

читайте первый пост уже, про "Четверка чисел не должна иметь общего делителя, отличного от 1"
53 mogul
 
17.08.15
20:25
P.S. Если же все таки считать единицы корректным набором, то ряд
1,1,1,1 ... 1,1,1, бесконечность
очевидно бесконечен.
54 RomanYS
 
17.08.15
20:28
(52) ну и какой из наборов в (50) не подходит под это условие?
(53) ты о чем вообще? про три или про четыре числа?
55 RomanYS
 
17.08.15
21:03
(27) для трех чисел можно показать, что если не все три числа равны(1,1,1), то с=a+b. А далее a и b - взаимнопросты, иначе есть общий делитель у всей тройки.
всего три варианта(перечислены в (50)).

для четырех чисел количество решений тоже конечно, но перебирать там варианты очень утомительно)
56 1s_ivan
 
17.08.15
22:25
(30) В этом месте .... "Но и сумма трех нечетных x не может быть четным числом, так что равенство x1 + x2 + x3 = 2n невозможно.
Итого, решений нет и в этом случае." мне кажется у Вас ошибка, поскольку одно из слагаемых может быть равно 2, и поэтому " 2(два) + х2 + х3 =2n "  вполне себе может иметь решения. Разве нет?
57 RomanYS
 
18.08.15
08:20
a1+a2+a3+a4=S, a1=S/d1...
1/d1+1/d2+1/d3+1/d4 = 1
Наибольшее из слагаемых не меньше четверти и не больше половины от суммы (d1=2,3,4). Наибольшее из оставшихся не меньше трети от оставшейся суммы.... вариантов конечное число.
58 RomanYS
 
18.08.15
10:20
+(57) общий вывод: для любого конечного количества чисел число наборов будет конечно
59 Aceforg
 
18.08.15
10:53
1 1 1 1
1 1 1 3
1 1 2 2
1 1 2 4
1 1 4 6
1 2 2 5
1 2 3 6
1 2 6 9
1 3 4 4
1 3 8 12
1 4 5 10
1 6 14 21
2 3 3 4
2 3 10 15
60 bolobol
 
18.08.15
13:08
(53) Как это бесконечен, если всего один вариант - все единицы. Тут-то просто идеальная конечность = одному варианту.
61 SUA
 
27.08.15
18:19
1 1 1 1
1 1 1 3
из оставшихся вариантов a+b+c+d , a<=b<=c<=d
а)все числа различны
1) a+b+c=d,
b делит 2(a+b+c), b>1
c делит 2(a+b+с), c>1
отсюда одно из них и (a+b+c)не взаимно просты
2) a+b+c=2d
то же для 3(a+b+c)
б) a=b=1
1 1 с d
1) 2+c=d
c=2 (или имеет общий делитель с d), но при этом d=4 - не подходит
2) 2+с=2d, c=2(d-1)>d при d>2 - не подходит