Сумма четырех натуральных чисел делится на каждое из них.
Конечно или бесконечно количество таких наборов?

З.Ы. Четверка чисел не должна иметь общего делителя, отличного от 1.

3 + 5 + 7 + 11 = 26

(1) и на что из них делится 26?

(0)Меня смущают условия. Сумма 4 числе, делятся на каждое из них. И при этом не должны иметь общего делителя? Вроде тут противоречия.

(3) почему противоречие? для затравки четверка (5, 2, 2, 1)

(4) Так 2 повторяются. Т.е. у двух чисел общий делитель.

или имеется ввиду что сразу у всех 4 не должно быть общего делителя?

(5) Тут смысл, что одну четверку нельзя получать из другой умножением на число.

(6) у всех четырех, иначе бесконечное число четверок будет. Находим одну и умножаем ее на произвольное число

1 + 2 + 3 + 6 = 12

(9) 2,3,6 - общий делитель есть

(10) И какой же?

1,3,4,4
1,4,5,10

И надо чтобы общего не было у всех четырех чисел.

2,3,10,15
кто больше? )))

1+2+3+6 = 12. Классика

(13) если речь про все 4, тогда да.

(2) "Сумма четырех натуральных чисел делится на каждое из них."
Я подумал, что это утверждение))

только тогда ставим первую единицу и получаем бесконечный набор чисел:
1 + 10000000000+ 1000000000000000 + 100000000000000000

ой, я тормоз...

(16) Какой общий делитель у 2 3 6 кроме 1?

5 7 17 29
13 15 29 57

Найти то не проблема пару штук, ответить надо про бесконечность наборов.

(21)
в первом не делится на 17
во втором на 13 и 15

(22) отвечу - конечное число! доказать пока не могу, но этого задание не требовало! )))

упс, неверно условия прочитал

По-ходу, именно этим доказательством занимается 1С во время проведения документов. Так сказать "заодно". Это всё объясняет)

Ну давайте упростим и пока рассмотрим аналогичные тройки чисел

Пусть n - наибольшее из этих чисел, а x1, x2, x3 - оставшиеся. Тогда возможны два варианта:

1) x1 + x2 + x3 = n
и
2) x1 + x2 + x3 = 2n

В случае 1) дополнительно должно выполняться что
a1 * x1 = 2n, a2 * x2 = 2n, a3 * x3 = 2n, где a1, a2, a3 - целые.
Также можно написать, что для любой пары
n = x * a / 2.
Если а - четное, то n и х - не взаимно просты, т.е. этого быть не может, т.о. все наши a - нечетные.
Тогда что бы n было целым, четным должен быть каждый из x, что невозможно.

Т.о., для x1 + x2 + x3 = n решений нет вообще.

(28) 1) и 2) - вообще не понял, почему "возможны два варианта". Два нуля и Н = Н - это минимум. Н-2 + Н-1 + Н = 3*Н-3 - это максимум. Причём, ещё нужно очевидное доказать, что недостижимый максимум при Н >3.

В случае 2) дополнительно должно выполняться что
a1 * x1 = 3n, a2 * x2 = 3n, a3 * x3 = 3n, где a1, a2, a3 - целые.
Также можно написать, что для любой пары
n = x * a / 3.
x на 3 нацело делиться не может, т.е. на 3 должно делиться каждое из a.
Тогда
3*A1*x = 3n
A1*x = n;
x не может быть четным, иначе у него будет общий делитель с n.
Но и сумма трех нечетных x не может быть четным числом, так что равенство x1 + x2 + x3 = 2n невозможно.
Итого, решений нет и в этом случае.

1+2+3 = 6

яндекс все знает
http://znanija.com/task/7784432

(32) Тоже мимо - общий делитель 2.

(29) Пусть N = сумма n + x1 + x2 + x3.
N должно нацело делиться на n: N = Bn.
Пусть B больше трех, например, 4. тогда
4n = n + x1 + x2 + x3, или
3n = x1 + x2 + x3 (**).
Но у нас n - большее из всех слагаемых, так что (**) - невозможно.
Итого остаются два предложенных мной варианта.

(32) условие про взаимную простоту слагаемых все усложняет.

(34) Если сие выше было про четвёрку чисел, то почему везде решений нет-то?

В (34) приведено обоснование того, что есть только два варианта:
1) x1 + x2 + x3 = n
и
2) x1 + x2 + x3 = 2n

Для каждого из этих вариантов доказано (ну, вроде бы доказано, проверяйте), отсутствие решения.

Итого, решения нет вообще.

(37) Да как доказано, если в (3) ответ дан - 5 + 2 + 2 + 1

(37) Как раз случай, где 2Н
Для Н= 4 - решений нет, значит - не растущая разница, но не значит, что конечная.

(38), см. условие про взаимную простоту слагаемых.
2 и 2 - это не взаимно простые числа.

(39) Чо?!

(40) Не было условия про "взаимную" простоту. Читайте условие внимательнее.

(41) Не "Чо?", а "Што?"!
Не значит, что конечно множество наборов.

(42) см. у топикстартера:

"З.Ы. Четверка чисел не должна иметь общего делителя, отличного от 1."

(43) да успокойся уже. 0 таких наборов, 0 - число конечное.

(45) Я то спокоен. Спокойным и был. Была лёгкая эйфория от простоты вашего доказательства ограничений на набор данных. При этом, для 3Н - нет такой выкладки. Для 1, для 2, для 4 есть, а с 3 что?

(44) - это я вам рекомендовал ТС-а перечитать. Какие мне, прикажете, делать выводы, если не читая, вы его мне же и цитируете?

3Н = Н + н1 + н2 + н3
3Н = Ан1 (1, 2, 3)
3Н = Бн2 (1, 2, 3)
3Н = Вн3 (1, 2)

Итого, без преувеличения можно заключить - что перестановки возможных множителей - это и показатель конечности наборов.

Чушь, конечно. Попутался я в равенстве максимальному... Блин.

На самом деле, решение о том, что задача решения не имеет, еще проще.
Пусть x - самое маленькое из исходных чисел.
Докажем, что для натурального x произведение его и еще трех больших чисел всегда больше их суммы:
произведение будет равно как минимум
x * (x + 1)* (x + 2)* (x + 3), или, развернув, x4 + 5x3 + 6x2 + x2 + 5x + 6.
Сумма — 4x + 6.
Очевидно, что
x4 + 5x3 + 6x2 + x2 + 5x + 6 > 4x + 6, или
x4 + 5x3 + 7x2 + x > 0
при любом x > 0.
Можно заменить x * (x + 1)* (x + 2)* (x + 3) на x * (x + a)* (x + b)* (x + c), суть не изменится.

(49) причем здесь произведение? Что значит "решения не имеет" - здесь уже приводились корректные примеры и для трех и для четырех чисел:
1,1,1
1,1,2
1,2,3
1,1,1,1
1,1,1,3
1,1,2,2
1,2,2,5
...

(50)
1*1*1 = 1+1+1
1+2+2+5 = 1*2*2*5
так чтоль?

тьфу блин, сам пишу уже не пойми что...

читайте первый пост уже, про "Четверка чисел не должна иметь общего делителя, отличного от 1"

P.S. Если же все таки считать единицы корректным набором, то ряд
1,1,1,1 ... 1,1,1, бесконечность
очевидно бесконечен.

(52) ну и какой из наборов в (50) не подходит под это условие?
(53) ты о чем вообще? про три или про четыре числа?

(27) для трех чисел можно показать, что если не все три числа равны(1,1,1), то с=a+b. А далее a и b - взаимнопросты, иначе есть общий делитель у всей тройки.
всего три варианта(перечислены в (50)).

для четырех чисел количество решений тоже конечно, но перебирать там варианты очень утомительно)

(30) В этом месте .... "Но и сумма трех нечетных x не может быть четным числом, так что равенство x1 + x2 + x3 = 2n невозможно.
Итого, решений нет и в этом случае." мне кажется у Вас ошибка, поскольку одно из слагаемых может быть равно 2, и поэтому " 2(два) + х2 + х3 =2n "  вполне себе может иметь решения. Разве нет?

a1+a2+a3+a4=S, a1=S/d1...
1/d1+1/d2+1/d3+1/d4 = 1
Наибольшее из слагаемых не меньше четверти и не больше половины от суммы (d1=2,3,4). Наибольшее из оставшихся не меньше трети от оставшейся суммы.... вариантов конечное число.

+(57) общий вывод: для любого конечного количества чисел число наборов будет конечно

1 1 1 1
1 1 1 3
1 1 2 2
1 1 2 4
1 1 4 6
1 2 2 5
1 2 3 6
1 2 6 9
1 3 4 4
1 3 8 12
1 4 5 10
1 6 14 21
2 3 3 4
2 3 10 15

(53) Как это бесконечен, если всего один вариант - все единицы. Тут-то просто идеальная конечность = одному варианту.

1 1 1 1
1 1 1 3
из оставшихся вариантов a+b+c+d , a<=b<=c<=d
а)все числа различны
1) a+b+c=d,
b делит 2(a+b+c), b>1
c делит 2(a+b+с), c>1
отсюда одно из них и (a+b+c)не взаимно просты
2) a+b+c=2d
то же для 3(a+b+c)
б) a=b=1
1 1 с d
1) 2+c=d
c=2 (или имеет общий делитель с d), но при этом d=4 - не подходит
2) 2+с=2d, c=2(d-1)>d при d>2 - не подходит