Решить в целых положительных числах уравнение:

y^2=x^3+3*x

х =0, у=0.

(1) а теперь еще раз, но внимательно условие прочитай

x=1 y=2

(3) начало положено

(2) Тогда х = +0, у = +0.

(4)может хватит?)

(6) Сам он не успокоится :))))))))))))))

(4) х=3, у=6

(8) тоже верно

x    y
0    0
2    1
6    3
42    12

(10) только наоборот
итого есть ТРИ решения пока
а есть ли еще решения?

Неужто решать надо)

(11) конечно есть. Потому что странно полагать иначе.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Недоопределённая_система


1 уравнение в системе и 2 переменных

(14) не в тему

(15) у тебя нет однозначного решения уравнения, почитай что такое решить уровнения(найти его корни)

Процедура КнопкаВыполнитьНажатие(Кнопка)
    Х = 1;
    у = 1;
    ПОка х <= 10000 Цикл
        у = 1;
        Пока у <= 10000 Цикл
            Если у*у = х*х*х+3*х Тогда
                Сообщить("х= "+х +", у=" +У);
                У=У+1;
            КонецЕсли;
            У=У+1;
        КонецЦикла;
        х=х+1
    КонецЦикла;    
КонецПроцедуры

(16) целочисленные да еще и положительные решения имеются в виду, а не все. Тут может быть всё однозначно.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

(16) однако уравнение x^2+y^2=5 прекрасно имеет конечное число решений

(19) вот именно

Докажите, что нет решения в пределах числах стремящихся к бесконечности

Может быть вы не все корни нашли, я про это (10)

(23) о чем и речь, а к чему (14) было?

К тому что нельзя решить уравнения

нельзя решить уравнение, можно подобрать только некоторые корни

(25) почему тогда (20) можно? там тоже одно уравнение и две переменные

(19) Ключевое слово "всех", то что вы перечилили 3 пары корней не значит что решили

Там тоже нельзя, нет явно решения (27)

х = (5-У^2)^0.5 в зависимости от бесконечного множества значений У у тебя и Х будет принимать такое же множество решений, значит нет конечно число числа решений

Для Икс=1 по 10000 цикл
    Игрек=sqrt(иксиксикс+3*икс);
    Если цел(Игрек)=Игрек Тогда
        Сообщить("Игрек="+Игрек+" Икс="+Икс);
    КонецЕсли;
КонецЦикла;

(29)(30) там можно, ты просто условие не прочитал, ищутся целые положительные корни

(30) нет, там можно доказать, что х <= 2 и у <= 2. Поэтому всего возможно 4 варианта. Конечное число корней.

а как же мнимые числа? (33)

(34) мнимое оно не положительное

(20) Не было разговора про условия в этом топе, если накладывать интервалы на корни тогда

(34) однако пока 3 корня только выдало в (17). Что-то не так.

(0) Надо было тогда дописать что х, У от 0 до 100(1000) или что то типо того

Ну ты ж не запускал чикл до числа неприлично большого

цикл

(40) получается до 10000 корней нет.

Не одним из методов линейной алгебры вы не решите эти уровнения.

А если еще больше

(42) потому что эта задача не из линейной алгебры

(42) https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофантово_уравнение

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2+%3D++x%5E3+%2B+3x

(17) Одно          
       У=У+1;
лишнее

(47) Да, в условии забыл удалить

Доказали конкретный случай, не доказано для уравнений топика.(45)

x y
0 0
1 2
2 7
3 18
и далее до бесконечности

(46) Не понял какие выводы я должен был сделать из графика?

(0)
ОФФ
целых положительных = натуральных

(52) из темы в тему я пишу "Да я разделяю взгляд, что натуральные это целые положительные. Но в мире математики нет однозначного трактования множества натуральных чисел. Поэтому в современной математической литературе для однозначности принято писать positive integer"

(52)
опа... спасибо - не знал.
я, как-то, по старинке думал...

*(53)

(51) есть табличка Integer solutions

x = 23232, y = 3541032

вообще, если x = 3*k^2, то x^3 + 3*x = 9k^2 * (3*k^4 + 1).
если 3*k^4 + 1 окажется полным квадратом, то такой x подходит.
почему должно быть конечное число таких k, непонятно

(57) вранье же c примером

(59) и точно (((

y^2=x^3+3*x
y=kx+m m<x
m^2=nx
k^2*x^2+2mx+m^2=x^3+3*x
k^2*x^2+2mx+nx=x^3+3*x
k^2*x+2m+n=x^2+3
2m=x^2+3-k^2*x-n
4m^2=(x^2+3-k^2*x-n)^2
4nx=(x^2+3-k^2*x-n)^2
n=tx+3
m^2=tx^2+3x
k^2*x^2+2mx+m^2=x^3+3*x
k^2*x+2m+tx=x^2
2m=x^2-k^2x-tx
4m^2=x^2(x-k^2-t)^2
4(tx+3)=x(x-k^2-t)^2
12=qx
x=1 x=2 x=3 x=4 x=6 x=12
x=2, x=4, x=6 не подходят
Остаются решения(1,2),(3,6),(12,42)

(61) откуда вывод, что n=tx+3

(62) 4nx=(x^2+3-k^2*x-n)^2
левая часть делится на х, правая тоже должна делиться на x
n-3=tx t-целое
n=tx+3

(46) Так лучше
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2+%3D++x%5E3+%2B+3x+in+integer

(61) в четвертой строке вместо: k^2*x^2+2mx+m^2=x^3+3*x
надо: k^2*x^2+2*m*k*x+m^2=x^3+3*x

далее из условия (x^2+3-k^2*x-n)^2 делится на х необязательно следует, что подкоренное x^2+3-k^2*x-n делится на х, а значит необязательно n=tx+3

(65) Сначала решил поспорить, потом понял, что из делимости 36 на 12 не следует делимость 6 на 12.

y^2=x^3+3*x
1)x=a^2
y^2=a^2(a^4+3)
a^4+3=b^2
(b-a^2)(b+a^2)=3
b+a^2=3 b-a^2=1 a=1 b=2 x=1 y=2
2)x<>a^2
y=kx+m m<x
2.1)m=0
y=kx
k^2x^2=x^3+3x
k^2x=x^2+3
3=tx
2.1.1) x=1 не удовлетворяет x<>a^2
2.1.2) x=3 y=6
2.2) m^2=nx
k^2*x^2+2kmx+m^2=x^3+3*x
k^2*x^2+2kmx+nx=x^3+3*x
k^2*x+2km+n=x^2+3
k(y+m)+n=x^2+3
2.2.1) n=3
k^2*x+2km=x^2
m^2=3x
m=3t
3x=9t^2
x=3t^2
3k^2^t^2+6kt=9t^4
k^2^t+2k=3t^3
2k=qt
4k^2+4q=12t^2
q^2t^2+4q=12t^2
4q=rt^2
q^2+r=12
2.2.1.1)q=1 r=11 4=11t^2 не имеет решения
2.2.1.2)q=2 r=8 t=1 x=3 m=3 не удовлетворяет m<x
2.2.1.3)q=3 r=3 t=2 x=12 k=3 y=42
2.2.2) n<>3
m^2=nx
n<>b^2 т.к. x<>a^2
Существует простое p n=p^(2c+1)t НОД(p,t)=1
2.2.2.1) p<>3
x=p^(2d+1)q m=p^(2c+2d+2)tq
k^2*x+2km+n-3=x^2 правая часть делится на p, левая не делится
2.2.2.2) p=3, другие простые входят в разложение n и x как квадраты
будет рассмотрен позднее

(67) всё верно, только вот это "будет рассмотрен позднее" и есть камень преткновения.
У меня так:

y^2=x*(x^2+3)

n = НОД(x,x^2+3)

1. n=1, тогда x^2+3=z^2, отсюда x=1, y=2

2. n>1, тогда 3 делится на n => n=3
x=3a, y=3b
b^2=a*(3*a^2+1)
Причем НОД(a,3*a^2+1)=1 и a, 3*a^2+1 - квадраты
А вот дальше хуже...
можно представить a=c^2 и d^2=3*a^2+1=3*c^4+1
что с этим делать непонятно

(67) в пункте 2.2.2.2, если показатели 3 у n и x одновременно больше 1 несложно доказать, что решений нет.
А вот что делать с вариантами x=3q^2 и n=3t^2 тоже пока непонятно.
Пробовал вариант свести к уравнению вида y^2=3x^4+1. Его решить как уравнение Пелля и доказать, что его корни не могут быть квадратами. Там тоже мрак.