Вдоль окружности посажено 20 цветков, на каждом цветке сидит одна пчёлка. Время от времени две пчёлки одновременно перелетают на соседние цветки в противоположных направлениях.
Могут ли все пчёлки собраться на одном цветке?

нет
если последняя пчелка полетит на этот цветок, то другая должна вылететь ей навстречу

не могут

(0) 1. Выдержит ли цветок столько пчёл.
2. Как на это посмотрит профсоюз цветов.

(1) отставить. объяснение не годится

(4) Ты меня опередил полёт на один цветок возможен. По логике представить что все соберутся на один цветок шанс есть.

(0) Инвариант по сумме номеров цветков по модулю 20

Нужно цветки пронумеровать от 1го до 20 по часовой стрелке. Возьмем сумму С=КоличествоПчелНаЦветке1*номерцветка1+КоличествоПчелНаЦветке2*номерцветка2+....+КоличествоПчелНаЦветке20*номерцветка20

изначально она 210. При любом перемещении 2х пчел сумма остается неизменной, кроме перелетов с 20го на 1ый и наоборот. Но сумма будет меняться на число кратное 20ти в таком случае.
Поэтому Сумма "С" всегда будет иметь вид С=210+k*20, где k целое чило, а значит С никогда не будет делиться на 20. А если все пчелы собрались на одном цветке, значит сумма С кратно 20 - противоречие

(7) "кроме перелетов с 20го на 1ый и наоборот". Не понял, чем перелеты пчел между 2-м и 3-м цветками отличаются от перелетов между 1-м и 20-м цветками.

Все просто, ключ в том, что две пчелки ОДНОВРЕМЕННО в противоположных направления. Т.е. одна пчелка с n-того цветка, вторая с k-того. Сядет на n+1 и k-1. Т.е. сумма останется не изменной. Рассмотрим перелет с 20 на 1 (в сторону увеличения номеров), тогда вторая с k на k-1. Итого сумма уменьшится на 20.
Вывод сумма номеров всех цветков с пчелами всегда остается неизменной по модулю 20.
Текущая сумма 20 * (20 +1)/2 = 201 = 1 по модулю 20.
Значит ответ - НЕВОЗМОЖНО.

Кстати, отсюда следует. что если на всех цветках, кроме 9 и 12 будут пчелки, то они смогут слететься на 20 цветок и на 10-й но ни какой другой.

А если пчелка будет отсутсвовать на 5-м цветке, то они могут слететься все на 4-й, но только на него.

Кстати, сумма по размещению пчелок это необходимое, но не достаточное условие для ответа ДА.
Т.е. не факт, что у варианта (11) существует решение, но если оно есть, то ответ будет именно 4-й цветок.

(12) или 6. ведь должна быть симметрия

Объяснить что такое "противоположное направление" на окружности

(14) по/против часовой

(15) Боюсь не поняли, что это в контексте двух пчел летящих одновременно в противоположном направлении.

1. По/против часовой
2. На приближение/на удаление друг другу

(13) нет, 6 ответ невозможный

(16) Если пчелы летят приближаясь к друг к другу, то одна летит по часовой,а вторая против часовой стрелки
Если пчелы летят удаляясь друг от друга, то одна летит по,а вторая против часовой.
Т.е. всегда одна по часовой, а вторая против часовой

(13) по правилу симметрии можем сделать вывод, что задача 11 тоже не имеет решения.