Есть две дополнительные внешние обработки. Обе подцеплены к базе, а в сведениях о них установлено - безопасный режим - ложь.
Запускается первая обработка, на форме кнопка, на нажатие которой ищется и запускается в безопасном режиме(!) вторая обработка. При попытке запуска функции второй обработки, которая подключается к БД MySQL, 1с выдаёт ошибку, что установлен безопасный режим.

Где ещё я не отключила этот режим?

Скорее всего так прописано в БСП. В коде.

(1) Т.е. придётся править конфигурацию?

Нашла вот такой код при запуске обработки. Переводит безопасный режим в "Истина"

        
Менеджер = СоздатьМенеджерЗаписи();        
Менеджер.ТипПрограммногоМодуля = СвойстваПрограммногоМодуля.Тип;        
Менеджер.ИдентификаторПрограммногоМодуля = СвойстваПрограммногоМодуля.Идентификатор;        
Менеджер.Прочитать();    
Если Менеджер.Выбран() Тогда    
  Результат = Менеджер.БезопасныйРежим;    
Иначе
  Результат = Неопределено;    
КонецЕсли;

Получается, что надо сделать запись в регистре сведений РежимыПодключенияВнешнихМодулей. Окей, прописала туда свою обработку, но ничего такого не произошло. Что я делаю не так?

Отлаживай дальше, смотри при каких условиях Менеджер.Выбран() равно Истине

(4) Ни в каких. Там всегда пустые значения и, соответственно, он уходит в Иначе. А потом проверка, типа если неопределено, то безопасный режим истина

Если запускаю через файл -> открыть, то всё хорошо

(4) Если в регистр правильно записать, то из него прочитается то, что записано.
Опять же Тип и Идентификатор где-то задаются и откуда-то получаются.