скажем есть функция: z = x^2 + y^2
у нас есть точка х=5 у=5
производная по х'=2*х
производная по у'=2*y
соответственно координаты вектора 10;10
как теперь нарисовать на картинке этот градиент,какая будет начальная координата, а какая конечная?

(0,0)-(10,10)

(1) тогда направление будет от центра, а направление должно быть в сторону уменьшение скорости?

Градиент это 2-функции: dF/dX и dF/dY. Или 2- мерный вектор в точке (x,y).
Наверное, его адекватно можно изобразить в 4-х мерии. Или 2 3-х мерных графика: для dF/dX и dF/dY.
(1) Наверное ТС хочет изобразить зависимость градиента от координат.

вот тут, как происходит формирование стрелок, в каждой точке?
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/c/cc/Градиент_холма.gif

по идее это должен быть вектор на плоскости, на вроде линий уровня, хотя может я чего-то не понимаю.

(4) У Вас другой случай. Если по аналогии с картиной из (4)для точки (5,5) стрелка (градиент): начало: (5,5), конец (15,15).
В целом это будет центрально-симметричная картинка с разбегающимися от центра стрелками, чем дальше от центра, тем длиннее.
Но получится некрасиво - слишком длинные стрелки.

(5) а конец почему 15;15, предполагаю, что это сложение 5+10, но почему?

https://i.stack.imgur.com/hqYS5.png
https://www.mtholyoke.edu/courses/tdray/math203/max0.jpg

Но стрелки хз в какую, смотря куда выгнута

(6) Потому что градиент-вектор (0;0)-(10:10) перенес параллельно в точку (5;5)

(7) да, точно, чёт забыл

(7) Осталось только стрелки "обратить".

ЭТО куда шарик покатится

(2) это еще почему вдруг?
если вы педаль газа нажимаете (производная скорости больше нуля) то машина у вас разгоняется и ускорение направлено вперед, а не назад (когда вы тормозите).

хотя не совсем понятно.
Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

у градиента должна быть и высота ведь?

(13) градиент вектор. у вектора нет высоты ширины и прочего.
есть длина вектора, направление, и координаты начала.
но вообще я бы рекомендовал учебник по геометрии

(14) хорошо, 3я координата, если не понятно написал.

(15) если мы рассматриваем градиент изменения высоты по отношению к плоскости (к уровню моря), то градиент высоты будет направлен в сторону наиболее быстрого набора высоты, но расположен он будет в плоскости параллельной "уровню моря".
третья координата - высота точки от которой откладывается вектор, это как раз высота той точки, в которой мы определяем градиент.

(16) т.е. от [0,0,0] к [50,10,10] в этом случае?

скажем есть функция: z = x^2 + y^2
у нас есть точка х=5 у=5
производная по х'=2*х
производная по у'=2*y
соответственно координаты вектора 10;10

вы понимаете что означает "в плоскости"?
в указанных условиях градиент будет вектор, который будет откладываться от точки (5,5,50) к точке (15,15,50).

но если Z у нас не третья координата, а просто какая либо функция (плотность распределения хомячков) то градиент нужно откладывать в плоскости xy.
может вас путает высота в качестве функции? функция может быть любой. стоимостью жилья в районе города например, удельной концентрацией СО2 и т.п.

ходя да, не правильно прочитал "«направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона".

(20) самого крутого это ты круто взял, не лезь туда) градиент направлен по нормали к касательной плоскости в точке

наврал про нормаль)

(17) Из (5,5,50) в (15,15,70): dF = dF/dx*dx+dF/dy*dy = 50+10*1+10*1.

(23) Наврал: конец в (6,6,70).

(24) 3 координаты если функция имеет 3 переменные, у меня 2 переменные.

(25) Я думал Вы хотите в 3-х мерии: (x,y,z=F(x,y))