Целые положительные числа a и b таковы, что выражение (a^2+b^2+1)/(a*b)=k - целое число.

Докажите, что k=3.

(0) для любых а и б? доказывать

(0) а=1 b=1
Там суть сводится к тому что бы доказать, что при делителе <> 1 a+b+1\a*b всегда будет дробью

(2) (5*5+2*2+1)/(5*2) = 3

(3) 10+4+1\10 <> 3

Если a = b, то a2 должно делить 2a2 + 1. Откуда a = b = 1 и поэтому 3(1)(1) = 12 + 12 + 1. В дальнейшем без потери общности считаем, что a > b.
Пусть k =  a2 + b2 + 1    ab . Преобразованием этого равенства и заменой a на x, получаем квадратное уравнение x2 − (kb)x + (b2 + 1) = 0, одним из корней которого является x1 = a. По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде: x2 = kb − a =  b2 + 1    a .
Первое представление показывает, что x2 является целым числом, а второе представление, что это число положительно. Неравенство a > b влечёт, что x2 =  b2 + 1    a  < b, если b > 1.
Таким образом, базовым случаем является значение b = 1. При этом значение a должно делить a2 + 2, и поэтому a равно 1 или 2. Случай a = 1 невозможен, поскольку a ≠ b. В случае a = 2 имеем k =  a2 + b2 + 1    ab  =  6    2  = 3. Так как значение k не менялось в процессе спуска, получаем, что  a2 + b2 + 1    ab  = 3, т.е. 3ab= a2 + b2 + 1, для всех упорядоченных пар (a,b).

(4) лучше посчитай

https://ru.wikipedia.org/wiki/Прыжки_Виета

(5)(7) читер

(6) Ты блин ставь знаки корректные)))
25+4+1/10 ну да, 3

(9) они корректные ))

(2)
Просто a = b.
a = 1 и b = 1 необязательно.

(11) Посчитай, например, для a=b=2

(12)
эээх, облажался

Решил тут посмотреть - какие же это корни получаются, но все просматривать было шибко лень, и потому ограничения сделал такие:

Запишем условие как a*a+b*b+1=3ab
Далее предположим, что a>b и поделим обе части на a. Получим
a+(b*b+1)/a=3b
отсюда можем получить второе граничное условие - a<3b

Далее элементарная программа с b от 1 до 1000 и a от b+1 до 3*b


Ответы такие:
a=2 b=1
a=5 b=2
a=13 b=5
a=34 b=13
a=89 b=34
a=233 b=89
a=610 b=233
a=1597 b=610

Есть над чем подумать ))

+(14) Если поднять b до 10000 добавляются еще 2 корня
a= 4181 b= 1597
a= 10946 b= 4181

(14). Это числа из последовательности Фибоначчи с нечетными номерами (каждый последующий равен сумме двух предыдущих): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

(16) Точно :-)
Т.е. если мы знаем один ответ a=A и b=B, то следующий ответ будет
a=A+(A-B)+A=3*A-B и b=A

Тогда первые 44 ответа:
a= 2 b= 1
a= 5 b= 2
a= 13 b= 5
a= 34 b= 13
a= 89 b= 34
a= 233 b= 89
a= 610 b= 233
a= 1597 b= 610
a= 4181 b= 1597
a= 10946 b= 4181
a= 28657 b= 10946
a= 75025 b= 28657
a= 196418 b= 75025
a= 514229 b= 196418
a= 1346269 b= 514229
a= 3524578 b= 1346269
a= 9227465 b= 3524578
a= 24157817 b= 9227465
a= 63245986 b= 24157817
a= 165580141 b= 63245986
a= 433494437 b= 165580141
a= 1134903170 b= 433494437
a= 2971215073 b= 1134903170
a= 7778742049 b= 2971215073
a= 20365011074 b= 7778742049
a= 53316291173 b= 20365011074
a= 139583862445 b= 53316291173
a= 365435296162 b= 139583862445
a= 956722026041 b= 365435296162
a= 2504730781961 b= 956722026041
a= 6557470319842 b= 2504730781961
a= 17167680177565 b= 6557470319842
a= 44945570212853 b= 17167680177565
a= 117669030460994 b= 44945570212853
a= 308061521170129 b= 117669030460994
a= 806515533049393 b= 308061521170129
a= 2111485077978050 b= 806515533049393
a= 5527939700884757 b= 2111485077978050
a= 14472334024676221 b= 5527939700884757
a= 37889062373143906 b= 14472334024676221
a= 99194853094755497 b= 37889062373143906
a= 259695496911122585 b= 99194853094755497
a= 679891637638612258 b= 259695496911122585
a= 1779979416004714189 b= 679891637638612258

Доказательство - почему именно эти корни подходят:
Получаем: A1=(3*A0-B0) B1=A0
Тогда числитель (a*a+b*b+1)=(3*A0-B0)*(3*A0-B0)+A0*A0+1= (9*A0*A0) - (6*A0*B0) + (B0*B0) + (A0*A0) + 1.
Знаменатель a*b = (3*A0-B0)*A0 = 3*A0*A0 - A0*B0

Теперь, т.к. мы знаем, что для корней 1 и 2 (B0*B0) + (A0*A0) + 1 = 3*A0*B0 то подставим это выражение в числитель и получим
(9*A0*A0) - (6*A0*B0) + (B0*B0) + (A0*A0) + 1 = (9*A0*A0) - (6*A0*B0) + (3*A0*B0) = (9*A0*A0) - (3*A0*B0)
Вынесем тройку за скобки и получим:
3*(3*A0*A0 - A0*B0)
Знаменатель, напомню: 3*A0*A0 - A0*B0. И результат деления числителя на знаменатель будет равен 3.