Есть регламентное задание, которое выполняется каждые 5 секунд. В результате записи о старте и завершении этого задания занимает большое количество в журнале регистрации. Можно как-то отключить записи в Журнал регистрации по этому одному регламентному заданию?

Нет, настройка общая

А что там стартует каждые 5 сек? Просто интересно...

(2) Обмен с интернет магазином.

Лучше стартовать сервис обмена один раз утром и потом в цикле делать паузы каждые 5 сек. Пауза не должна тормозить, есть решения
http://catalog.mista.ru/public/706204/
http://catalog.mista.ru/public/1158171/

Если задание вдруг отвалится или зависнет, то нужно ещё одно задание, которое проверяет работоспособность обмена и принимает меры.

Я тоже за паузу.
Там в комментариях к первой статье есть нативная пауза из БСП:
Процедура Пауза(Секунд) Экспорт
    
    ТекущийСеансИнформационнойБазы = ПолучитьТекущийСеансИнформационнойБазы();
    ФоновоеЗадание = ТекущийСеансИнформационнойБазы.ПолучитьФоновоеЗадание();
    
    Если ФоновоеЗадание = Неопределено Тогда
        Параметры = Новый Массив;
        Параметры.Добавить(Секунд);
        ФоновоеЗадание = ФоновыеЗадания.Выполнить("ОбщегоНазначенияБТС.Пауза", Параметры);
    КонецЕсли;
        
    Попытка
        ФоновоеЗадание.ОжидатьЗавершения(Секунд);
    Исключение
        Возврат;
    КонецПопытки;
    
КонецПроцедуры

"ОбщегоНазначенияБТС" - можно заменить на любой общий модуль, куда и поместить эту процедуру.

(5) а не рванёт? Рекурсия, однако...

(6) Ну, это не совсем рекурсия.