Вот так не работает:
            ЗАпрос.Текст = "ВЫБРАТЬ
                           |    НачисленияУдержанияПоСотрудникам.Регистратор КАК Регистратор
                           |ИЗ
                           |    РегистрНакопления.НачисленияУдержанияПоСотрудникам КАК НачисленияУдержанияПоСотрудникам
                           |ГДЕ
                           |    НачисленияУдержанияПоСотрудникам.Период = &НачалоПериода
                           |";
            
            ЗАпрос.УстановитьПараметр("НачалоПериода",Новый Граница(ДатаОстатков, видграницы.Включая));

Почему и как сделать так. чтобы была выборка в границах между двумя датами с включением обеих границ?

Вопрос поставлен достаточно четко, "выборка в границах между двумя датами с включением обеих границ", но это настолько легко гуглится, что мне даже не по себе
Между &НачалоПериода И &ОкончаниеПериода
Если вы не умеете искать информацию, то прошу читать документацию или книжки, например, https://v8.1c.ru/metod/books/42709.htm

(1) у нас, видимо, разный инет, т.к. я потратил 15-20 минут на гугление и только потом полез создавать тему.

(0) МЕЖДУ.
при том запросе, который Вы пишите - граница не нужна.
Все записи включая записи граничных секундпопадут

ГДЕ
                           |    НачисленияУдержанияПоСотрудникам.Период Между &НачалоПериода &КонецПериода

ЗАпрос.УстановитьПараметр("НачалоПериода",ДатаНачала);
ЗАпрос.УстановитьПараметр("КонецПериода",ДатаОкончания);

граница не будет работать при сравнении дат,так как с границей сравнивать нельзя.
граница только для выборки виртуальных таблиц,где она может корректно обрабатываться.