Стоял себе сервер удалённо, работал круглые сутки.
Пару недель назад перезагрузил его удалённо и он ушёл в чёрный экран. Стали разбираться. Сейчас резюме такое:

- диски и память без ошибок
- в биосе почему-то стоял на приоритете не тот ЖД

А теперь самое интересно. Вечером проверяю его, перезагружаю несколько раз, несколько раз включаю выключаю - всё работает. Выключаю. Утром везу на место, включаю - чёрный экран. Несколько раз выключаю включаю - чёрный экран. Затем захожу в биос, выбираю меню загрузки, выбираю диск, который и так стоит по-умолчанию - комп загружается. Перезагружаю программно несколько раз - всё нормально. Выключаю, включаю несколько раз - всё нормально.

Может ли такое поведение быть связано с полудохлой батарейкой биоса?

Ну так замени батарейку, если сомневаешься. Не дорого она стоит.
Но скорее всего нет. Обычно такое происходит из-за конденсаторов на плате - они слегка разогреваются и потом все работает, а по началу заводится с 10го раза.

Может.

Обычно,если виновата батарейка,то выдаётся ошибка.
Проблема также может быть связана с выключением питания.
Когда вы перезагружает и выключаете,то из розетки его никто не вытекает и резервное питание поступает на плату.

Поискать параметр boot after power loss или подобный.
Вполне возможно,что после выключения питания применяется какой-то алгоритм поиска чего-то,отличный от просто загрузки.

Батарейка - может. Поменять ее - по любому, скорее всего, он не один год у Вас "стоял, работал"... А дальше уже смотреть. То, что в (1-4) написано, по симптомам больше похоже на Вашу ситуацию, но проверяется сложнее. Поэтому, я бы с батарейки начал.