Нетиповая конфигурация, в регламентированных заданиях(фоновых заданиях) есть обработка почты вот свойства: https://disk.yandex.ru/i/KXnVjuNxK1kD9w в име метода написано: "МодульРегламентныхЗаданий.ОбработкаПочты"
Есть общий модуль вот свойства: https://disk.yandex.ru/i/4S-tYmytBkx5_g
При выполнении фонового задания, возникает ошибка:
В данной транзакции уже происходили ошибки!
{ОбщийМодуль.МодульРегламентныхЗаданий.Модуль(1110)}:СправочникПисьма.Записать();

по причине:
В данной транзакции уже происходили ошибки!

УстановитьПривилегированныйРежим(Истина);
НачатьТранзакцию();
...

Для каждого Сообщение Из МассивСообщений Цикл
        
        ...

        СправочникПисьма = Справочники.Письма.СоздатьЭлемент();
        СправочникПисьма.УстановитьНовыйКод();
        СправочникПисьма.Наименование = Сообщение.ИдентификаторСообщения;
        СправочникПисьма.ДатаПисьма = Сообщение.ДатаОтправления;
        СправочникПисьма.Записать();

КонецЦикла;

ЗафиксироватьТранзакцию();
УстановитьПривилегированныйРежим(Ложь);

Как решить проблему? Под обычным пользователем все отрабатывает без ошибок.

Попробуй для теста отключи транзакцию, может увидишь

Решил проблему, но не заметил как, что поменял:
1) Создал пользователя в 1С и в справочнике пользователей USR1CV8, дал ему админ права и сделал авторизацию через ОС через учетку USR1CV8;
2) Отключил транзакции, как попросили в этом вопросе;