В один из четырёх непрозрачных и непрощупываемых конвертов с  вероятностью 1/2 положили крупную денежную купюру, после чего эти конверты перемешали. Затем по-очереди открыли три конверта, все оказались пусты. Какова вероятность того, что в оставшемся неоткрытом конверте купюра?

(52) я написал, что 100%.

Удивительно что столько человек ответили про 1/2

(53) что положили. Т.е. теоретически возможно, что во все 4 положили, а возможно, что и не в один не положили

Правильный ответ:

(53) Вероятность 1/2 того, что положили.

не читайте (57) - там лажа

в (29) проверено даже экспериментом

(46) Если говорить о неспециализированных форумах, то для большинства людей незнакомо само понятие "доверительный интервал" (или же они его крепко забыли, чтобы помнить даже его название).

(56) Ничего удивительного. :)
Какова, например, вероятность в ситуации (44), где мы изначально условились, что под выпавшую орлом монету вместе с ней в ящик обязательно кладем купюру, а выпавшую решкой кладем саму по себе)? Моделирует ли эта ситуация исходную задачу (0)?

Вероятность, что в конверт положили купюру 0.5
Вероятность, что в конверт не положили купюру 0.5

Вероятность, что в первых трех конвертах не окажется купюры при том, что ее положили =3/4*2/3*1/2 =1/4

Вероятность, что в первых трех конвертах нет купюры, если ее и не положили = 1

Отсюда полноая вероятность события (нет купюры) = 1*1/2+1/4*1/2 = 5/8

Вычисляем теперь вероятность события если в первых трех конвертах купюры нет:

P=(1/4*1/2) / (5/8) = (1/8) / (5/8) = 1/5

Вообще несколько некорректно поставлена задача. Надо было поставить так - вероятность того, что в один из четырёх непрозрачных и непрощупываемых конвертов положили купюру, составила 50%(по условию задачи, есть вероятность того, что купюра не попадет ни в один из конвертов - вероятность 50%). Затем по-очереди открыли три конверта, все оказались пусты. Какова будет вероятность того, что эту купюру обнаружат в четвертом конверте.

Если так, то вероятность нахождения купюры в конверте после изъятия трех других составит 50%.

(63) Формулировка принимается, как абсолютно идентичная. Пусть будет так.
Ответ - голосуй.

После некоторых раздумий.

(61) ВЕроятность, что монета орлом 0.5
Вероятность, что монета решкой 0.5

Вероятность того что первые три ящика пусты, при условии, что монет лежит орлом 3/4*2/3*1/2 = 1/4

Веротность того, что первые три ящика пусты при условии, что монета лежит решкой та же 1/4

Полная вероятность 1/2*1/4+1/2*1/4 = 1/4

Вероятность что монета лежит орлом = (1/2*1/4)/(1/4) = 1/2

Вывод: такая же ситуация не моделируется

(60) Эксперимент, как и модель может пойти по ложному пути. Например, в твоем коде могут быть вопросы как к методике наполнения конверта, так и к методике отбрасывания "неудачных" экспериментов.
Это я к тому, что то, что кажется правильным и логичным, в итоге может оказаться ошибочным и привести к неверному результату.

(66) Тут даже если сто пакетов будут лежать, то вероятность оказаться вообще вне пакетов - 50% и при любом первоначальном количестве пакетов вероятность меняться не будет.

(66) Вот и было бы интересно построить адекватную наглядную модель, чтобы результат 1/5 можно было объяснить человеку, не знающему про теорему Байеса.

(67) На бытовом уровне.
В тесте участвует несколько человек. Каждый последовательно открывает свои 4 конверта. Если денег в очередном конверте нет, то разрешают участнику открыть следующий конверт, иначе он выбывает. Прошедшими тест считаются все, кто открыл все 4 конверта (даже, если в последнем деньги). Прошедшими с нулевым результатом - те, кто денег не нашли.

Первый раунд. С вероятностью 1/2*1/4=1/8 находятся деньги, они выбывают. Осталось 7/8 участников.
Второй раунд. С вероятностью 1/2*3/4*1/3=1/8 находятся деньги, они выбывают. Осталось 6/8 участников.
Третий раунд. С вероятностью 1/2*3/4*2/3*1/2=1/8 находятся деньги, они выбывают. Осталось 5/8 участников.
Стоп кадр. Все они уже прошли тест наверняка.
С другой стороны ровно 1/2=4/8 участников пройдут тест с нулевым результатом.
Ну и наша вероятность как 1-"нулевые"/"тестпрошедшие"
1-(4/8)/(5/8)=1/5

+ (69) и наглядно показать, почему (44) не отражает (0)

(70) ИМХО, чересчур мудрено. Могу утверждать, что многие скорее сочтут ситуацию (44) более понятной и соответствующей исходной задаче, чем твои рассуждения с раундами.

независимые опыты.

(70) Тут кстати не сказано ничего, по поводу того - может ли поменяться вероятность того, что деньги вообще в конверт не положат, после открытия первого пакета?

(69) Пожалуйста.
Есть 5 вариантов.
1. Купюра в 1 конверте
2. Купюра во 2 конверте.
3. Купюра в 3 конверте.
4. Купюра в 4 конверте.
5. Купюры нигде нет.

Вероятность обнаружить купюру в одном из конвертов равна 1/5.

Надо проголосовать.

(75) В задаче сказано, что вероятность купюры вне конвертов - 1/2.

(77) Поэтому 5 вариантов. И 1/5.

(77) Если вероятность вложения купюры больше, чем 1/2, тогда ответ больше 1/5.
И наоборот меньше 1/2 приводит к ответу меньше 1/5.
Ровно 1/2 - ответ ровно 1/5.

(78) Ты наверное не понял - вероятность того, что купюра окажется вне конвертов - 50%. И судя по условиям задачи она не меняется, после открытия любого количества пакетов.

(7) в задаче не сказано, каким образом выбрали первые конверта, отсюда и ответ может быть разным

(81) *первые три конверта

(80) Это ты не понял. Есть 5 вариантов. Вероятность обнаружить купюру в конверте 1/5 и она не меняется в процессе открытия конвертов.

(75) Неплохо было бы напротив каждого варианта написать его вероятность и обосновать это. Варианты-то не равновероятные (в 5-м вероятность 1/2). Эдак и до софистики недалеко.

(83) Вероятность нахождения купюры вне конвертов равна 1/2. Поэтому

(81) Это неважно. Там уже рассматривается ситуация, когда первые три оказались пустыми и требуется определить вероятность в рамках этой возникшей ситуации.

(85) суть задачи в том, возможно ли на основании 3х пустых открытых конвертах определить что нас нае..ли

Есть более изощренный вариант рассуждений. Вероятность нахождения купюры вне конвертов равна 50% в силу того, что вне 4 конвертов купюра может попасть в 4 посылки (других места). Тогда вероятность нахождения вне конвертов может поменяться. Однозначно задача поставлена некорректно.

(88) Это совершенно корректная задача на теорему Байеса.
Скорей всего задача из учебника.

(75) а у нас не 4 в квадрате распределений?
0000
0001
0010
0011
0100
0... и так далее вероятность того,
что выпадет 0001 у нас вообще 1/16 =)

(89) То, что задача написана в учебнике - не говорит о том, что в ней были перечислены все условия.

(90) 0011 - нет такой буквы, только в одном конверте

(92) ничего не сказано про одну купюру

(88) Задача поставлена корректно. Если требуются пояснения и уточнения, не вопрос. К тому же я согласился принять твою формулировку (63), но ведь твой ответ от этого не изменился.

ой извиняюсь точно одна купюра

(93) ай не звизди
"В один из четырёх "

(84) 5-й вариант - это 5-й вариант. Один из пяти возможных.
Поэтому и ответ 1/5. Было бы 6 вариантов ответ был бы 1/6.

(86) перечитай по ссылке из (25)
три пустых конверта можно открыть с вероятностью 100% (заранее знать, что они пустые), либо наугад...

тогда распределение
0000
0001
0010
0100
1000 тобишь 1/5

чет даже, как то без формул выявляется или это просто случайность =)?

(100) Это не случайность, а бред полный.

(100) Если бы купюру положили с вероятностью 1/3, тогда без формул не обойдешься.

(94) Тогда нужно добавить еще одно условие - вероятность нахождения купюры вне конвертов после открытия конвертов не меняется. В противном случае можно вернуться к (88).

(98) Фраза в (0) "конверты перемешали, затем по-очереди открыли" однозначно подразумевает открытие конвертов наугад.

(103) Меняется. Как ни странно. Именно это 300 лет с гаком назад открыл Байес.

Поэтому добавить такое условие невозможно.

(101) =) та лан не кипишуй, уш и подтрунить нельзя

(105) что влияет на изменение этой вероятности?

(103)
Не стоит плодить сущности без необходимости. / Pluralitas non est ponenda sine necessitate (С)  William of Ockham

"Без надобности носимый набрюшник вреден" (С) Козьма Прутков.

(105) Значит вероятность в 50% нахождения вне конвертов подразумевает то, что купюра находится еще в четырех объектах, про которые не сказано ни слова. Но они существуют, согласно значению в 50%. Вот тогда вероятность нахождения в последнем конверте будет равна 1/5. Тем самым для выяснения "с какой стороны необходимо разбивать яйцо" необходимо либо подтвердить это утверждение или опровергнуть.

(110) Извиняюсь - "купюра может находится еще в четырех объектах".

(108) То что при открытиях конвертов в них не оказалось купюры.

(97) Если бы в условии было сказано, что купюру положили с вероятностью 0.99 (99%) , тоже получил бы вероятность 1/5, поскольку вариантов всего 5?

А  наглядно можно показать просто.
в 50% случаев купюра есть в конверте. В 50% нет.
Распишем возможные варианты в конвертах по порядку, с вероятностями.
1) 0 0 0 0 - 0.5 (нет купюры)
//
2) 1 0 0 0 - 1/8
3) 0 1 0 0 - 1/8
4) 0 0 1 0 - 1/8
5) 0 0 0 1 - 1/8
// суммарно еще 0.5
В первых трех конвертах купюры не оказалось.
Это варианты 1) и 5) общая вероятность (0.5+1/8)
Вероятность что есть купюра 1/8.
Полная вероятность что есть купюра (1/8)*(0.5+1/8)=1/5

(97) См. (113)

Полная вероятность что есть купюра (1/8)/(0.5+1/8)=1/5, виноват

(0)с каждым открытием конверта увеличивается вероятность
при открытии первого конверта вероятность 1/8
при открытии последнего 1/2

(116) В знаменателе 1/8 это что?

(116) "В один из четырёх непрозрачных и непрощупываемых конвертов с  вероятностью 1/2". Тем самым по условию говорится, что общая вероятность нахождения в любом из конвертов - 50% или по 12,5%. Но общая - 50%. И при открытии конвертов общий процент не меняется. И когда вскрыли 3 пакета - он так и остался равным 50%. Т.е. вероятность растет , но только по отношению к вероятности нахождения в других конвертах, но не к общей вероятности. А вот если допустить, что вне конвертов существует 4 объекта(или больше), в которых может оказаться купюра, то результат вообще может оказаться непредсказуемым без дополнительных сведений.

(119) Повторюсь конечно, но процент меняется, так как мы отсекли попытки в которых купюра нашлась в первых трех конвертах.

(118) Суммарная вероятность случаев 1) и 5)

(121) нельзя считать суммарную для случаев 1 и 5 т.к. между ними нету причинно-следственной связи. Такая связь есть только между событиями "Купюра в 4 конверте" и "Купюра в группе конвертов"

(122) Что? (18) Чисто наглядно разрисована его теорема.

Надо Сердюкова позвать. Он спец по крупным купюрам в конверте.

(124)  и Чурова тогда уж, а то 146% не получится

"Вероятность, что в первых трех конвертах не окажется купюры при том, что ее положили =3/4*2/3*1/2 =1/4 "

Боже, сколько идиотов...
Считают вероятность уже случившегося события - хотя в задаче требуется посчитать вероятность не свершившегося.

"Задача о купюре в конвертах" - это про взятку или серую зарплату?

Одел куртку,а там бумажник с деньгами.Хорошо работать в гардеробе.

К слову о моделировании-2 (заодно и об экспериментах).

Как можно обеспечить вероятность нахождения купюры в одном из четырех конвертов, равную 1/2? Например, можно взять восемь конвертов (т.е. 2 раза больше), в один из них положить купюру и, перемешав конверты, разделить их (случайным образом) на 2 группы по 4 конверта в каждой. Вероятность нахождения купюры в каждой из этих групп равна 1/2. (А в обоих вместе взятых = 1). Или, иными словами, вероятность нахождения купюры в каком-либо одном из четырех случайно выбранных конвертов равна 1/2 (на каждый конверт приходится 1/8).

Рассмотрим теперь ситуацию, которая реализовалась, т.е. открыты 3 конверта. Что можно сказать о такой системе? Только лишь то, что в этой РЕАЛИЗОВАВШЕЙСЯ ситуации вероятность обнаружить купюру в каком-либо из этих пяти конвертов равна 1 (достоверность купюры никуда не девается) и каждый из конвертов "равновероятен" в силу исходной симметрии...

Хотя, чтобы не скатиться в софистику, лучше все же использовать классический аппарат ТВ и применить в данном случае теорему Байеса.

Как вариант (с использованием комбинаторики и той же формулы Байеса)

Обозначим Н1 - событие "купюру положили" (в один из конвертов), Н2 - событие "купюру  не положили" (ни в один из конвертов). Вероятности этих событий (по условию) Р(Н1)= Р(Н2)= 1/2

Пусть событие А состоит в том, что в трех конвертах купюра не обнаружена (событие "необнаружение в 3-х конвертах").

Условные вероятности такого события (применяем комбинаторику для подсчета числа исходов):

Р(А|Н1) = 1/4 - есть вероятность необнаружения купюры в 3-х  наугад выбранных конвертах в случае, если купюру положили ( =  С(3,3)/С(3,4), где С(3,4) - число способов, которыми можно выбрать три конверта из четырех,  С(3,3) - число способов выбрать три конверта из трех пустых, т.е. число "успехов" рассматриваемого события)

Р(А|Н2) = 1 - есть вероятность необнаружения купюры в случае если её не положили ни в один из конвертов.

По формуле Байеса расчитываем апостериорную вероятность гипотезы, что "купюру положили (в один из конвертов) при условии, что произошло событие необнаружения купюры в трех выбранных конвертах":

Р(Н1|А) = Р(Н1)*Р(А|Н1) / ( Р(Н1)*Р(А|Н1) + Р(Н2)*Р(А|Н2) ) = 1/2*1/4 / ( 1/2*1/4 + 1/2*1) = (1/8) / (5/8) = 1/5

(126) И не говори. :) см. (46)
Не всем же иметь математическое образование, некоторым не дано.

(131) да я уже и без Байеса в (70) доказывал
и алгоритм в (29) давал с результатами
тут твой товарищ прав: случай неизлечим

1-вероятность открытия трех пустых конвертов, а вероятность открыть три пустых конвента подряд равна 1/8 отсюда 1 - 1/8

Задача ИМХО по схеме один в один wiki:Парадокс_мальчика_и_девочки
и имеет ту же неоднозначность.

Нет вру 1/2 - 1/8

А с конвертами мне больше нравится другая пакость:
Пусть:
1. Есть два конверта
2. В одном конверте в два раза больше денег, чем в другом
3. Вы открыли один конверт и увидели сумму Х
4. Вам предложили поменять свой выбор
Стоит ли соглашаться и почему?

Стоит

(136) Конечно, стоит.

(137)(138)Почему, какую дополнительную информацию вы получили?

(139) Деньги и так и так дадут. Чего отказываться?
А если сумма нечетная, так 100 пудов дальше больше будет.

(140) Ну пусть это биткоины, они до 10^-8 делятся, так что считай все почти четное ;)

Я бы поступил так: если сумма внушительная не рисковал бы, а если не принципиальная, то рулетка по желанию

(140) Все равно, выигрыш существенно больше проигрыша.

(142) Если сумма внушительная, то 1/2 суммы тоже внушительная.

(143) Ты не по формуле, ты по физическому смыслу объясни почему так.
То что 0,5*X/2+ 0.5*2*X > X это понятно.
А вот из-за чего это происходит?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах
разрешение парадокса, формальная аргументация.

(146) Угу, в задаче ошибка во втором условии. Но вика это не спортивно.

(146) Здесь нет парадокса :)

(148) это название раздела на странице в вике.

(145) По "физическому смыслу" тут достаточно рассмотреть множество событий (пусть будет N), в каждом из которых имеются 2 конверта: с фиксированными суммами Х и 2Х (т.е. общая сумма двух конвертов равна 3Х). Пусть теперь в половине из этих случаев игроку дали конверт с суммой Х, а в половине - с суммой 2Х. Придерживаясь стратегии поменять конверт, игрок   получит в половине случаев сумму 2Х, а в другой половине случаев - сумму Х, то есть то же самое, как и в случае со стратегией "не менять". Таким образом, средняя сумма выигрыша будет 1.5Х независимо от выбранной стратегии.

Тот же результат можно получить, если смоделировать ситуацию с более, чем 2-мя вариантами сумм. Например, пусть будут допустимыми суммы Х, 2Х, 4Х. Тогда возможные комбинации для 2-х конвертов, сумма денег в которых отличается в 2 раза будут
(Х,2Х)
(2Х,Х)
(2Х,4Х)
(4Х,2Х)
Если предлагать игроку каждый из этих вариантов с равной вероятностью, то видно, что стратегия "поменять" приведет к тому же результату, что и стратегия "не менять".

(145) Еще одно объяснение "по физическому смыслу"

Итак, игроку-1 в каждой игре предлагается некая ФИКСИРОВАННАЯ сумма Х (пусть будет = 100 тугриков). Второму игроку вручается  конверт (равновероятно) с суммой либо 2Х (200 тугриков), либо Х/2 (50 тугриков). Таким образом, сумма каждой игры в целом (сумма в 2-х конвертах) составляет либо 3Х (300 тугр.), либо 1.5Х (150 тугр.) и следовательно средняя сумма одной игры ("банк") равна 2.25Х (225 тугриков).

Стратегия поменять конверт приводит к простому обмену конвертами и такая стратегия приведет в серии игр для перового игрока к обладанию (в среднем на 1 игру) суммой (2Х+Х/2)/2 = 1.25Х (125 тугриков), для второго игрока - Х (100 тугриков). И  в таком отсутствии симметрии нет ничего странного. Главное, что сумма средних выигрышей обоих игроков равна средней сумме игры.

Стратегия не менять конверт приводит к обратной ситуации (игроки 1 и 2 как бы меняются своими выигрышами).

Симметрия выигрышей есть только в том случае, если не придерживаться ни одной из стратегий, а принимать решение о смене конверта случайным образом. Тогда каждый будет обладать суммой (в среднем на 1 игру) 1.125 Х (112.5 тугр.)

(145) я в (17) привел пример. мы оказались в какой то из ситуаций. и все наши эксперименты подсказывают в какой именно. конечно есть мизерный шанс что у нас произошла невероятная цепь совпадений и мы вытянули 49(или даже 50) белых шаров подряд из коробки где их 50/50 с черными, но шанс этого мизерный, а значит мы во втором случае, и вариант достать белый шар почти 100%

..